Dadas as funções abaixo (onde x_{0}, v_{0}, a_{0}, w e \theta_{0} são constantes), determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
f(t)=x_{0} \sin \left(w t+\theta_{0}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=x_{0}\,\sin\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr)
e pede as derivadas de primeira e segunda ordem. O conteúdo principal é a diferenciação de funções trigonométricas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar a primeira derivada, aplicamos
\frac{d}{dt}\sin\bigl(u(t)\bigr)=\cos\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t)
onde u(t)=w\,t+\theta_{0} e u'(t)=w. Assim,
f'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[x_{0}\sin\bigl(u(t)\bigr)\Bigr] =x_{0}\cos\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t) =x_{0}\,w\,\cos\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr).

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos f'(t)=x_{0}\,w\,\cos\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr). Usamos
\frac{d}{dt}\cos\bigl(u(t)\bigr)=-\sin\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t),
com o mesmo u(t). Logo,
f''(t) =x_{0}\,w\Bigl[-\sin\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t)\Bigr] =-x_{0}\,w\,(w)\,\sin\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr) =-x_{0}\,w^{2}\,\sin\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr).

Passo 4

Observando que \sin(w\,t+\theta_{0})=f(t)/x_{0}, podemos escrever
f''(t)=-w^{2}\,f(t),
mostrando que a equação satisfaz a equação de oscilador harmônico.

Resposta

f'(t)=x_{0}\,w\,\cos\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr),
f''(t)=-x_{0}\,w^{2}\,\sin\bigl(w\,t+\theta_{0}\bigr).

Exercícios relacionados