Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} :
f(x)=a x+b

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=a x+b e pede a derivada em um ponto x_{0} usando a definição
f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.
O conteúdo é cálculo diferencial, aplicando a diferença quociente para uma função linear.

Passo 2

Calcular f(x_{0}+\Delta x) e f(x_{0}). Como f(x)=a x+b, temos
f(x_{0}+\Delta x)=a(x_{0}+\Delta x)+b=a x_{0}+a\,\Delta x+b
e
f(x_{0})=a x_{0}+b.
Logo,
f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=a\,\Delta x.

Passo 3

Substituir no quociente de diferença:
\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} =\frac{a\,\Delta x}{\Delta x}=a,
para \Delta x\neq0.

Passo 4

Tomar o limite quando \Delta x\to0. Como o quociente é constante igual a a, segue que
f'(x_{0}) =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} =a.
Isso vale para todo x_{0}, portanto a derivada geral é f'(x)=a.

Resposta

A derivada de f(x)=a x+b é f'(x)=a.

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