Calcule:
F^{\prime}(x) dado que F(x)=\int_{1}^{\arcsin (x)} \frac{\sin (t)}{t} d t;

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{1}^{\arcsin(x)}\frac{\sin(t)}{t}\,dt
e pede F'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte II) combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui f(t)=\frac{\sin(t)}{t} e u(x)=\arcsin(x).

Passo 3

Aplicando essa fórmula a F(x), temos
F'(x) =\frac{\sin\bigl(\arcsin(x)\bigr)}{\arcsin(x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr] =\frac{\sin\bigl(\arcsin(x)\bigr)}{\arcsin(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Sabemos que
\sin\bigl(\arcsin(x)\bigr)=x.
Substituindo na expressão de F'(x), fica
F'(x)=\frac{x}{\arcsin(x)}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 5

Portanto em -1<x<1 a derivada é
F'(x)=\frac{x}{\arcsin(x)\,\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

F'(x)=\frac{x}{\arcsin(x)\,\sqrt{1-x^2}},\quad -1<x<1.

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