(2 pontos) O volume do sólido de revolução formado pela rotação da curva y=f(x) em torno do eixo o y, com x \in[a, b], é dado por V= 2 \pi \int_{a}^{b} x|f(x)| d x. Calcule o volume do sólido formado pela rotação, em torno do eixo oy, da curva y=\sin (x), com x \in[\pi, 2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a curva y=\sin(x) em torno do eixo o\,y para x\in[\pi,2\pi]. O método de cascas cilíndricas dá a fórmula
V = 2\pi \int_{a}^{b} x \bigl|f(x)\bigr| \,dx,
onde aqui f(x)=\sin(x), a=\pi e b=2\pi.

Passo 2

Na faixa [\pi,2\pi], temos \sin(x)\le0. Logo
\bigl|\sin(x)\bigr| = -\sin(x),
e o volume torna-se
V = 2\pi \int_{\pi}^{2\pi} x\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx = -2\pi \int_{\pi}^{2\pi} x\sin(x)\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int x\sin(x)\,dx, usamos integração por partes com
u = x,\quad dv = \sin(x)\,dx,\quad du = dx,\quad v = -\cos(x).
Isso dá
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x).

Passo 4

Aplicando aos limites de \pi a 2\pi:
\int_{\pi}^{2\pi} x\sin(x)\,dx = \bigl[-x\cos(x)+\sin(x)\bigr]_{\pi}^{2\pi} = \bigl[-2\pi\cdot1+0\bigr] - \bigl[-\pi\cdot(-1)+0\bigr] = -2\pi - \pi = -3\pi.
Logo
V = -2\pi \times(-3\pi) = 6\pi^2.

Resposta

O volume do sólido é 6\pi^2.

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