(2 pontos) O volume do sólido de revolução formado pela rotação da curva y=f(x) em torno do eixo o y, com x \in[a, b], é dado por V=2 \pi \int_{a}^{b} x|f(x)| d x. Calcule o volume do sólido formado pela rotação, em torno do eixo oy, da curva y=\sin (x), com x \in[\pi, 2 \pi].
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a curva y=\sin(x) em torno do eixo o\,y para x\in[\pi,2\pi]. O método de cascas cilíndricas dá a fórmula
V = 2\pi \int_{a}^{b} x \bigl|f(x)\bigr| \,dx,
onde aqui f(x)=\sin(x), a=\pi e b=2\pi.
Passo 2
Na faixa [\pi,2\pi], temos \sin(x)\le0. Logo
\bigl|\sin(x)\bigr| = -\sin(x),
e o volume torna-se
V = 2\pi \int_{\pi}^{2\pi} x\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx = -2\pi \int_{\pi}^{2\pi} x\sin(x)\,dx.
Passo 3
Para calcular \displaystyle\int x\sin(x)\,dx, usamos integração por partes com
u = x,\quad dv = \sin(x)\,dx,\quad du = dx,\quad v = -\cos(x).