Questão 5. Calcule a convolução das funções f(t)=t e g(t)=2 \cos (t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de f(t)=t com g(t)=2\cos(t). Esse é um tópico de sinais e sistemas/transformadas: vamos usar a definição de convolução causal
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau
e calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Substituindo f(\tau)=\tau e g(t-\tau)=2\cos(t-\tau), temos
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}\tau\;\bigl[2\cos(t-\tau)\bigr]d\tau =2\int_{0}^{t}\tau\cos(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável u = t-\tau. Então \tau = t - u e d\tau = -\,du. Quando \tau=0, u=t; quando \tau=t, u=0. Logo
2\int_{0}^{t}\tau\cos(t-\tau)\,d\tau =2\int_{u=t}^{u=0}(t-u)\cos(u)\,(-du) =2\int_{0}^{t}(t-u)\cos(u)\,du.

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
2\int_{0}^{t}(t-u)\cos(u)\,du =2\Bigl[t\int_{0}^{t}\cos(u)\,du \;-\;\int_{0}^{t}u\cos(u)\,du\Bigr].

Passo 5

Calculamos cada integral:
  1. \displaystyle \int_{0}^{t}\cos(u)\,du = \sin(t).\) 2. Para \(\displaystyle \int_{0}^{t}u\cos(u)\,du\), usamos integração por partes, com \(\displaystyle \begin{cases}a=u,\quad db=\cos(u)\,du,\\\ da=du,\quad b=\sin(u).\end{cases}
Então
\int u\cos(u)\,du = u\sin(u) - \int \sin(u)\,du = u\sin(u)+\cos(u)+C.
Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t}u\cos(u)\,du = \bigl[t\sin(t)+\cos(t)\bigr] - \bigl[0\cdot\sin(0)+\cos(0)\bigr] = t\sin(t) + \cos(t) - 1.

Passo 6

Substituindo esses resultados em
(f*g)(t) =2\Bigl[t\sin(t)\;-\;\bigl(t\sin(t)+\cos(t)-1\bigr)\Bigr] =2\bigl[t\sin(t)-t\sin(t)-\cos(t)+1\bigr] =2\bigl(1-\cos(t)\bigr).

Resposta

(f*g)(t)=2\bigl(1-\cos(t)\bigr).

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