Para o estudo da velocidade v(t) de um paraquedista, um modelo consiste em supor que a força de resistência do ar seja igual a b v^{2}(t). Em tal modelo, supondo b=700 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a soma das massas do paraquedas e do paraquedista, m=70 \mathrm{~kg}, pode-se mostrar que v(t) é solução da equação
\frac{v^{\prime}(t)}{v^{2}(t)-1}=-10, t>0
(a) ( 1,5 pontos) Use o método das frações parciais para calcular
\int \frac{v^{\prime}(t) d t}{v^{2}(t)-1}
(b) (1,5 pontos) Obtenha a solução v(t) da equação (1), em termos de t e de uma constante arbitrária.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{v'(t)}{v^2(t)-1} = -10,\quad t>0,
que é de variáveis separáveis. Precisamos calcular
\int \frac{v'(t)\,dt}{v^2(t)-1}
usando frações parciais e depois integrar ambos os lados para obter v(t).

Passo 2

Decompondo
\frac{1}{v^2-1} = \frac{A}{v-1} + \frac{B}{v+1},
multiplicamos por v^2-1 e obtemos
1 = A(v+1) + B(v-1) = (A+B)v + (A-B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\quad A-B=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac12,\;B=-\tfrac12.
Logo
\frac{1}{v^2-1} = \tfrac12\Bigl(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\Bigr).

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em v e igualamos ao lado direito em t:
\int \frac{v'(t)\,dt}{v^2(t)-1} = \int \frac{dv}{v^2-1} = \tfrac12\int\Bigl(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\Bigr)\,dv = \tfrac12\ln\Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| + C.
Pela EDO,
\int \frac{v'(t)\,dt}{v^2(t)-1} = \int -10\,dt = -10t + C_1.
Logo
\tfrac12\ln\Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| = -10t + C_1.

Passo 4

Multiplicando por 2 e exponenciando,
\ln\Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| = -20t + C_2 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| = e^{C_2} e^{-20t}.
Definindo K=\pm e^{C_2}, temos
\frac{v-1}{v+1} = K e^{-20t} \;\Longrightarrow\; v-1 = K e^{-20t}(v+1) \;\Longrightarrow\; v(t) = \frac{1 + K e^{-20t}}{1 - K e^{-20t}}.

Resposta

(a)
\int \frac{v'(t)\,dt}{v^2(t)-1} = \tfrac12\ln\Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| + C.
(b)
v(t) = \frac{1 + K e^{-20t}}{1 - K e^{-20t}},
onde C e K são constantes arbitrárias.

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