Para o estudo da velocidade v(t) de um paraquedista, um modelo consiste em supor que a força de resistência do ar seja igual a b v^{2}(t). Em tal modelo, supondo b=700 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a soma das massas do paraquedas e do paraquedista, m=70 \mathrm{~kg}, pode-se mostrar que v(t) é solução da equação
\frac{v^{\prime}(t)}{v^{2}(t)-1}=-10, t>0
(a) ( 1,5 pontos) Use o método das frações parciais para calcular
\int \frac{v^{\prime}(t) d t}{v^{2}(t)-1}
(b) (1,5 pontos) Obtenha a solução v(t) da equação (1), em termos de t e de uma constante arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
\frac{v'(t)}{v^2(t)-1} = -10,\quad t>0,
que é de variáveis separáveis. Precisamos calcular
\int \frac{v'(t)\,dt}{v^2(t)-1}
usando frações parciais e depois integrar ambos os lados para obter v(t).