Uma equação para a reta tangente ao gráfico de
em
é
(A)
.
(B)
.
©
.
(D)
.
(E) outro valor.
(A)
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{2} - 3x + 2 $ no ponto onde $ x_{0} = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, vamos derivar $ f(x) = x^{2} - 3x + 2 $.
A regra básica de derivação diz que:
- A derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
- A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
- A derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = 2x - 3 $, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x_{0} = 3 $. Para isso, substituímos $ x $ por 3 na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o valor de $ f(3) $ para saber o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai passar. Vamos calcular:
Então, o ponto de tangência é (3, 2).
Passo 5
Com a inclinação $ m = 3 $ e o ponto (3, 2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão $ y = mx + b $:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 3x - 7 $. Portanto, a alternativa correta é a © $ y = 3x - 7 $.