Uma equação para a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2-3 x+2 em x0=3 é
(A) y=6 x-16.
(B) y=2 x-4.
© y=3 x-7.
(D) y=x+2.
(E) outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{2} - 3x + 2 $ no ponto onde $ x_{0} = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, vamos derivar $ f(x) = x^{2} - 3x + 2 $.
A regra básica de derivação diz que:
  • A derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
  • A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
  • A derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
Aplicando isso:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 2x - 3 $, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x_{0} = 3 $. Para isso, substituímos $ x $ por 3 na derivada:
f'(x) = 2x - 3
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o valor de $ f(3) $ para saber o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai passar. Vamos calcular:
f(3)
Então, o ponto de tangência é (3, 2).

Passo 5

Com a inclinação $ m = 3 $ e o ponto (3, 2), podemos usar a fórmula da equação da reta:
m = 3
Substituindo os valores:
y - y0 = m(x - x0)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão $ y = mx + b $:
y = mx + b

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 3x - 7 $. Portanto, a alternativa correta é a © $ y = 3x - 7 $.

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