Exercício 13.7. Considere a equação
.
© Encontre a solução
satisfazendo
.
© Encontre a solução
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO linear de coeficientes constantes
e queremos a solução
que satisfaz
,
e
. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Obter o polinômio característico: substituímos
em
, o que dá
Dividindo por
surge
Passo 3
Fatorar o polinômio característico:
As raízes são
,
e
.
Passo 4
Escrever a solução geral da EDO de 3ª ordem:
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular as derivadas:
Passo 6
Aplicar as condições iniciais em
:
Passo 7
Resolver o sistema:
Da terceira equação vem
C2+C3=0
Rightarrow C3=-C2 .
Substituindo na primeira,C1=0 .
Na segunda,4C2=1
Rightarrow C2=tfrac14 e
C3=-tfrac14 .
Substituindo na primeira,
Na segunda,
Passo 8
Montar a solução particular:
Reconhecendo a função hiperbólica, temos
phi(x)=tfrac12sinh(2x) .