Exercício 13.7. Considere a equação y^prime prime prime-4 y^prime=0.
© Encontre a solução phi satisfazendo phi(0)=0, phi^prime(0)=1, phi^prime prime(0)=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear de coeficientes constantes
y'''-4y'=0
e queremos a solução phi(x) que satisfaz phi(0)=0, phi'(0)=1 e phi''(0)=0. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Obter o polinômio característico: substituímos y=e^rx em y'''-4y'=0, o que dá
r^3e^rx-4re^rx=0
Dividindo por e^rxneq0 surge
r^3-4r=0.

Passo 3

Fatorar o polinômio característico:
r^3-4r=r(r^2-4)=r(r-2)(r+2)=0
As raízes são r=0, r=2 e r=-2.

Passo 4

Escrever a solução geral da EDO de 3ª ordem:
phi(x)=C1 + C2e^2x + C3e^-2x,
onde C1,C2,C3 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular as derivadas:
phi'(x)=2C2e^2x-2C3e^-2x,
phi''(x)=4C2e^2x+4C3e^-2x

Passo 6

Aplicar as condições iniciais em x=0:
phi(0)=C1+C2+C3=0, phi'(0)=2C2-2C3=1, phi''(0)=4C2+4C3=0

Passo 7

Resolver o sistema:
Da terceira equação vem C2+C3=0 Rightarrow C3=-C2.
Substituindo na primeira, C1=0.
Na segunda, 4C2=1 Rightarrow C2=tfrac14 e C3=-tfrac14.

Passo 8

Montar a solução particular:
phi(x)=0+tfrac14e^2x-tfrac14e^-2x=tfrac14l(e^2x-e^-2xr)
Reconhecendo a função hiperbólica, temos phi(x)=tfrac12sinh(2x).

Resposta

phi(x)=tfrac12sinh(2x)

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