Calcule f^prime(x) e f^prime(1) em cada caso:
f(x)=llx^2, & se x >= 1 2 x, & se x<1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2,&x>=1, 2x,&x<1,
e pede a derivada f'(x) em cada ramo e em x=1. Vamos usar que a derivada de x^2 é 2x e a de 2x é 2, e depois verificar a existência de f'(1) comparando as derivadas laterais.

Passo 2

Para x<1, usamos o ramo f(x)=2x. A derivada de uma reta 2x é constante.
Se x<1, f'(x)=2

Passo 3

Para x>1, usamos o ramo f(x)=x^2. A derivada de x^2 é
Se x>1, f'(x)=2x

Passo 4

Para verificar f'(1), calculamos as derivadas laterais em x=1:
a) derivada pela esquerda (usando o ramo 2x):
f'-(1)=2
b) derivada pela direita (usando o ramo x^2):
f'+(1)=2cdot1=2

Passo 5

Como f'-(1)=f'+(1)=2, a derivada em x=1 existe e vale
f'(1)=2

Resposta

f'(x)= 2,&x<1, 2x,&x>1, f'(1)=2

Exercícios relacionados