e pede a derivada f'(x) em cada ramo e em x=1. Vamos usar que a derivada de x^2 é 2x e a de 2x é 2, e depois verificar a existência de f'(1) comparando as derivadas laterais.
Passo 2
Para x<1, usamos o ramo f(x)=2x. A derivada de uma reta 2x é constante.
Se x<1, f'(x)=2
Passo 3
Para x>1, usamos o ramo f(x)=x^2. A derivada de x^2 é
Se x>1, f'(x)=2x
Passo 4
Para verificar f'(1), calculamos as derivadas laterais em x=1:
a) derivada pela esquerda (usando o ramo 2x):
f'-(1)=2
b) derivada pela direita (usando o ramo x^2):
f'+(1)=2cdot1=2
Passo 5
Como f'-(1)=f'+(1)=2, a derivada em x=1 existe e vale