Faça duas iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método de Newton para resolver o sistema de abaixo, utilizando como valores iniciais x=2,5 e y=2:
l(y-12(e^x2+e^-x2)=0 9 x^2+25 y^2-225=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não-linear
usando o método de Newton em , fazendo duas iterações e calculando o erro em cada uma. Vamos precisar montar o vetor de funções , a matriz Jacobiana , usar a iteração
e medir o erro como

Passo 2

Definimos
F(x,y) = f1(x,y)[6pt] f2(x,y) , f1(x,y)=y-tfrac12l(e^x/2+e^-x/2r), f2(x,y)=9x^2+25y^2-225,
e a Jacobiana
J(x,y) = partial f1partial x & partial f1partial y[6pt] partial f2partial x & partial f2partial y = -tfrac12sinh(x/2) & 1[6pt] 18x & 50y
A cada iteração calculamos F, J, resolvemos o sistema linear
J(x^(k),y^(k)),De<a^(k) = F(x^(k),y^(k)),
e atualizamos
(x^(k+1),y^(k+1)) = (x^(k),y^(k)) - De<a^(k),
depois computamos
e^(k) = raizl(De<a x^(k)r)^2 + l(De<a y^(k)r)^2 ]

Passo 3

Iteração k=0 em (x^(0),y^(0))=(2.5,2):
  1. Avaliamos f1 = 2 - tfrac12l(e^1.25+e^-1.25r)approx 0.1116, f2 = 9cdot2.5^2 +25cdot2^2 -225 = -68.75
  2. A Jacobiana vale J = -tfrac12sinh(1.25) & 1[3pt] 45 & 100 approx -0.80095 & 1 45 & 100 , com det Japprox -125.095.
  3. Resolvendo J,De<a=F De<a^(0) approx -0.6387-0.3999, logo (x^(1),y^(1)) = (2.5,2) - De<a^(0) approx (3.1387,;2.3999)
  4. O erro é e^(0) = raiz0.6387^2 + 0.3999^2approx0.7536 ]

Passo 4

Iteração k=1 em (x^(1),y^(1))approx(3.1387,2.3999):
  1. Avaliamos f1 = 2.3999 - tfrac12l(e^1.5694+e^-1.5694r)approx -0.1061,
f2 = 9cdot3.1387^2 +25cdot2.3999^2 -225approx 7.665
  1. A Jacobiana vale J approx -1.14895 & 1 56.4966 & 119.996 , det Japprox -194.37
  2. Resolvendo J,De<a=F De<a^(1) approx 0.10490.01449, logo (x^(2),y^(2)) = (3.1387,2.3999) - De<a^(1) approx (3.0338,;2.3854)
  3. O erro é e^(1) = raiz0.1049^2 + 0.01449^2approx0.1059

Resposta

Após duas iterações obtemos:
(x^(1),y^(1))approx(3.1387,,2.3999), e^(0)approx0.7536,
(x^(2),y^(2))approx(3.0338,,2.3854), e^(1)approx0.1059

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