Calcule e em cada caso:
As funções acima são contínuas em x=1 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= x^2,&x>=1, 2x,&x<1,
e pede a derivada f'(x) em cada ramo, o valor em x=1 e ainda verificar a continuidade em x=1. Vamos usar:
Regra da derivada de potência e da função linear em cada intervalo.
Cálculo dos limites laterais para verificar continuidade.
Definição de derivada em um ponto e a necessidade de continuidade para que exista.
Passo 2
Para x<1 temos f(x)=2x. Aplicando a derivada de uma função linear,
f'(x)=2para x<1
Para x>1 temos f(x)=x^2. Aplicando a regra da potência,
f'(x)=2xpara x>1
Passo 3
Calculamos as derivadas laterais em x=1.
Da esquerda (x<1):
f'-(1)=limxto1^-2=2
Da direita (x>1):
f'+(1)=limxto1^+2x=2cdot1=2
Passo 4
Embora as derivadas laterais coincidam em 2, para que f'(1) exista é preciso que f seja contínua em 1. Vamos ver a continuidade.
Passo 5
Verificação de continuidade em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2,
limxto1^+f(x)=limxto1^+x^2=1,
e f(1)=1^2=1. Como
limxto1^-f(x)neqlimxto1^+f(x),
a função não é contínua em x=1.
Resposta
f’(x)=2 para x<1 e f’(x)=2x para x>1. As derivadas laterais em 1 valem ambas 2, mas f não é contínua em 1 (limites laterais de f são 2 e 1), logo f não é contínua em x=1 e, por isso, não é diferenciável aí.