(6,0) Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade e resolvas-as pelo método que achar mais apropriado:
y{\prime}+x{4} y=x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + x^4,y = x^4,e^4x^55
que é uma EDO de primeira ordem. Precisamos classificá-la quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, e em seguida encontrar sua solução geral.

Passo 2

Classificação da equação:
  • Tipo: equação diferencial ordinária (EDO), pois a função incógnita y depende de uma única variável x.
  • Ordem: primeira ordem, pois aparece apenas y' como derivada de maior ordem.
  • Linearidade: linear não homogênea, pois y e y' aparecem de forma linear e há um termo não nulo no lado direito.

Passo 3

Para resolver usamos o método do fator integrante. O fator integrante mu(x) é
mu(x) = e^integral x^4,dx = e^x^55

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^x^55,y' + x^4,e^x^55,y = x^4,e^4x^55,e^x^55 Longrightarrow l(e^x^55,yr)' = x^4,e^x^5
Agora integramos em x:
integral l(e^tfracx^55,yr)',dx = integral x^4,e^x^5,dx
Fazendo t = x^5, dt = 5x^4,dx, segue
integral x^4,e^x^5,dx = 15integral e^t,dt = 15e^t + C = 15e^x^5 + C

Passo 5

Portanto
e^x^55,y = 15e^x^5 + C Longrightarrow y = e^-x^55!l(tfrac15e^x^5 + Cr) = 15e^4x^55 + C,e^-x^55

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não homogênea.
Solução geral:
boxedy(x) = 15e^4x^55 + C,e^-x^55, CinR

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