Prove a regra do quociente a partir da regra do produto da seguinte forma: escreva y=uv na forma y v=u, derive com relação a x pela regra do produto e resolva a equação resultante para d yd x.

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra do quociente
ddxl(uvr)
a partir da regra do produto. Para isso, definimos
y = uv
e usaremos a regra do produto ao diferenciar ycdot v = u.

Passo 2

Escrevendo a relação
y,v = u
e derivando ambos os lados em relação a x pela regra do produto, obtemos
ddx(y,v) = ddx(u) Longrightarrow dydx,v + y,dvdx = dudx

Passo 3

Isolando dydx na equação
dydx,v + y,dvdx = dudx,
temos
dydx,v = dudx - y,dvdx Longrightarrow dydx = dudx - y,dvdxv

Passo 4

Substituindo y = uv na expressão de dydx,
dydx = dudx - l(tfracuvr),dvdxv = v,dudx - u,dvdxv^2

Resposta

ddxl(uvr) = v,dudx - u,dvdxv^2

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