Seja f(x)=llx^2|x|, & se x neq 0, 2 x, & se x=0 é contínua em x=0 ? f é diferenciável em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracx^2lvert xrvert,&se xneq0, 2x,&se x=0,
e pede para verificar a continuidade em x=0 e a diferenciabilidade em x=0. Vamos usar os conceitos de limite para continuidade e de quociente incremental para derivada.

Passo 2

Para
ou seja , segue que
logo é contínua em .]

Passo 3

Para a diferenciabilidade em 0, consideramos o quociente incremental
f(x)-f(0)x =lvert xrvert-0x =lvert xrvertx
Ao nos aproximarmos de 0 pela direita ( xto0^+) vem
limxto0^+lvert xrvertx =limxto0^+xx=1,
e pela esquerda ( xto0^-)
limxto0^-lvert xrvertx =limxto0^--xx=-1
Como esses limites laterais não coincidem, o limite do quociente incremental não existe, portanto f não é diferenciável em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0 e não é diferenciável em x=0.

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