Seja é contínua em x=0 ? f é diferenciável em x=0 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= dfracx^2lvert xrvert,&se xneq0, 2x,&se x=0,
e pede para verificar a continuidade em x=0 e a diferenciabilidade em x=0. Vamos usar os conceitos de limite para continuidade e de quociente incremental para derivada.
Passo 2
Para
ou seja , segue que
logo é contínua em .]
Passo 3
Para a diferenciabilidade em 0, consideramos o quociente incremental
f(x)-f(0)x =lvert xrvert-0x =lvert xrvertx
Ao nos aproximarmos de 0 pela direita (xto0^+) vem
limxto0^+lvert xrvertx =limxto0^+xx=1,
e pela esquerda (xto0^-)
limxto0^-lvert xrvertx =limxto0^--xx=-1
Como esses limites laterais não coincidem, o limite do quociente incremental não existe, portanto f não é diferenciável em x=0.
Resposta
A função f é contínua em x=0 e não é diferenciável em x=0.