Calcule f^prime(x), f^prime prime(x) e f^prime prime prime(x) para as seguintes funções:
f(x)=ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira, segunda e terceira derivadas da função
f(x)=ln(x)
O conteúdo envolvido é o de derivação de funções elementares, em particular a regra de derivada do logaritmo natural e as potências de x.

Passo 2

Para obter f'(x) usamos que
ddxln(x)=1x.
Logo,
f'(x)=1x

Passo 3

Para achar f''(x) derivamos f'(x)=x^-1. Aplicando a regra de potência,
ddxx^-1=-1cdot x^-2=-1x^2
Portanto,
f''(x)=-1x^2

Passo 4

Para calcular f'''(x) derivamos f''(x)=-x^-2. Novamente pela regra de potência,
ddx(-x^-2)=-2cdot(-1),x^-3=2,x^-3=2x^3
Assim,
f'''(x)=2x^3

Resposta

f'(x)=1x
f''(x)=-1x^2
f'''(x)=2x^3

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