Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=1 / theta, theta=pi

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=1/theta e pede a inclinação da reta tangente em theta=pi. Para isso usamos a relação entre coordenadas cartesianas e polares:
x(theta)=rcostheta=costhetatheta, y(theta)=rsintheta=sinthetatheta,
e a fórmula da derivada
dydx=dydthetadxdtheta

Passo 2

Calcular dxdtheta. Como
x(theta)=theta^-1costheta,
temos por produto e cadeia:
dxdtheta =-theta^-2costheta +theta^-1(-sintheta) =-costhetatheta^2 -sinthetatheta

Passo 3

Calcular dydtheta. Como
y(theta)=theta^-1sintheta,
decorre que
dydtheta =-theta^-2sintheta +theta^-1costheta =-sinthetatheta^2 +costhetatheta

Passo 4

Formar a expressão de dydx e simplificar multiplicando numerador e denominador por theta^2:
dydx =-sinthetatheta^2+costhetatheta -costhetatheta^2-sinthetatheta =-sintheta+thetacostheta-costheta-thetasintheta =sintheta-thetacosthetacostheta+thetasintheta

Passo 5

Avaliar em theta=pi. Como sinpi=0 e cospi=-1, temos
dydx|theta=pi =0-pi(-1)-1+picdot0 =pi-1 =-pi

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva em theta=pi é -pi.

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