Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=2 sin theta, theta=pi / 6

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 2sintheta
e pede o coeficiente angular tfracdydx da reta tangente no ponto correspondente a theta = pi/6.
O conteúdo aqui é derivação de curvas paramétricas em coordenadas polares, passando por
x = rcostheta, y = rsintheta
e usando
dydx = tfracdydthetatfracdxdtheta

Passo 2

Convertendo para coordenadas cartesianas em função de theta:
x(theta) = rcostheta = 2sinthetacostheta = sin(2theta),
y(theta) = rsintheta = 2sin^2theta

Passo 3

Derivando em relação a theta:
dxdtheta = 2cos(2theta),
dydtheta = 4sinthetacostheta = 2sin(2theta)

Passo 4

Formando a razão
dydx = tfracdydthetatfracdxdtheta = 2sin(2theta)2cos(2theta) = tan(2theta)

Passo 5

No valor theta = pi/6 vem
dydx|theta=pi/6 = tanl(2cdot tfracpi6r) = tanl(tfracpi3r) = raiz3

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é raiz3.

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