Calcule
e
de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Calcular
.
Observação rápida de notação: a função trigonométrica escrita como
equivale a
. Abaixo usarei a notação padrão
e
nas fórmulas.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derivo a primeira e multiplico pela segunda, somo com a primeira multiplicada pela derivada da segunda. Exemplo:
- Regra da potência (caso simples): para
,
Exemplo:
- Derivada da função seno:
Exemplo:
- Regra da soma e do fator constante:
.
Passo 3
Aplicando as regras à nossa função. Separe
em duas funções para usar a regra do produto:
Calcule as derivadas individuais:
Agora aplique a regra do produto:
Passo 4
Opcional: fatorando
para uma forma mais compacta, podemos retirar
comum:
Ambas as formas são equivalentes; a forma expandida pode ser mais direta para derivar novamente.
Passo 5
Agora vamos calcular
. Partimos da forma expandida encontrada:
Diferencie termo a termo, usando regra do produto quando necessário.
Para o primeiro termo
: podemos ver
como constante e aplicar produto em
:
Para o segundo termo
: use a regra do produto com
e
. Lembre que
.
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos obtemos
:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos também escrever numa forma fatorada por
e
: