Calcule f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x) de:
f(x)=x^{2} \cdot \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen}(x) e pede duas coisas:
  • Calcular f^{\prime}(x).
  • Calcular f^{\prime\prime}(x).
Observação rápida de notação: a função trigonométrica escrita como \operatorname{sen}(x) equivale a \sin(x). Abaixo usarei a notação padrão \sin e \cos nas fórmulas.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derivo a primeira e multiplico pela segunda, somo com a primeira multiplicada pela derivada da segunda. Exemplo: \frac{d}{dx}\big(x\cdot \sin x\big)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
  • Regra da potência (caso simples): para u(x)=x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Exemplo: \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada da função seno:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Exemplo: \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Regra da soma e do fator constante: \frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)+h(x)\big)=a\cdot g'(x)+h'(x).

Passo 3

Aplicando as regras à nossa função. Separe f(x) em duas funções para usar a regra do produto:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\sin(x).
Calcule as derivadas individuais:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Agora aplique a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x).

Passo 4

Opcional: fatorando f'(x) para uma forma mais compacta, podemos retirar x comum:
f'(x)=x\big(2\sin(x)+x\cos(x)\big).
Ambas as formas são equivalentes; a forma expandida pode ser mais direta para derivar novamente.

Passo 5

Agora vamos calcular f''(x). Partimos da forma expandida encontrada:
f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x).
Diferencie termo a termo, usando regra do produto quando necessário.
Para o primeiro termo g(x)=2x\sin(x): podemos ver 2 como constante e aplicar produto em x\sin(x):
\frac{d}{dx}\big(2x\sin x\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x\sin x\big) =2\big(1\cdot\sin x + x\cdot\cos x\big) =2\sin x + 2x\cos x.
Para o segundo termo h(x)=x^{2}\cos(x): use a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=\cos x. Lembre que \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\cos x\big)=2x\cos x + x^{2}(-\sin x)=2x\cos x - x^{2}\sin x.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos obtemos f''(x):
f''(x)=\big(2\sin x + 2x\cos x\big) + \big(2x\cos x - x^{2}\sin x\big).
Agrupando termos semelhantes:
f''(x)=2\sin x + 4x\cos x - x^{2}\sin x.
Podemos também escrever numa forma fatorada por \sin e \cos:
f''(x)=\big(2 - x^{2}\big)\sin x + 4x\cos x.

Resposta

f^{\prime}(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)
f^{\prime\prime}(x)=2\sin(x)+4x\cos(x)-x^{2}\sin(x)

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