Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=-4 x^{2}+8 x-3

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede a derivada (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) de f. As informações são:
  • Função dada: f(x)=-4x^{2}+8x-3.
    O que se pede:
  • Calcular \dfrac{dy}{dx} quando y=f(x).

Passo 2

Vamos recordar os conceitos e regras que vamos usar — explicados com calma.
Definição (intuição): a derivada de y em relação a x mede a taxa de variação instantânea de y quando x muda; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico em um ponto. Formalmente:
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Essa definição é útil para entender, mas na prática usamos regras que tornam o cálculo muito mais rápido.
Regras básicas que vamos usar:
  1. Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
  1. Regra da constante: a derivada de uma constante é zero. Se c é constante, então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  1. Regra do múltiplo constante: se c é constante e u(x) função, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot u'(x).
  1. Regra do poder (power rule): para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Explicação rápida do power rule para n=2: usando a definição com limite,
\frac{d}{dx}(x^{2})=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Pronto — essa demonstração mostra porque aparece o fator 2 e por que o expoente diminui uma unidade.

Passo 3

Agora aplicamos as regras à função termo a termo. Como f(x) é soma de três termos, derivamos cada um e somamos.
Termos:
  • Primeiro termo: -4x^{2}. Usei a regra do múltiplo constante e do poder: constante -4 multiplicando x^{2}. Assim,
\frac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big)=-4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).
Pelo power rule \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Logo
\frac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big)=-4\cdot(2x)=-8x.
  • Segundo termo: 8x. Aqui é um múltiplo constante de x. Como \frac{d}{dx}(x)=1, temos
\frac{d}{dx}\big(8x\big)=8\cdot\frac{d}{dx}(x)=8\cdot 1=8.
  • Terceiro termo: -3. É constante, então pela regra da constante
\frac{d}{dx}(-3)=0.

Passo 4

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
\frac{dy}{dx}=-8x+8+0.
Simplificando:
\frac{dy}{dx}=-8x+8.
Podemos também fatorar para ver outra forma equivalente:
\frac{dy}{dx}=-8(x-1)=8(1-x).

Passo 5

Verificação rápida e interpretação (útil para prova):
  • Em x=0: \dfrac{dy}{dx}=-8\cdot0+8=8. A inclinação da tangente em x=0 é 8.
  • Em x=1: \dfrac{dy}{dx}=-8\cdot1+8=0. Isso indica um ponto crítico (reta tangente horizontal) em x=1.
    Esses pequenos cheques ajudam a ter confiança na resposta durante a prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-8x+8

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