Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede a derivada (ou seja,
) de
. As informações são:
- Função dada:
.
O que se pede: - Calcular
quando .
Passo 2
Vamos recordar os conceitos e regras que vamos usar — explicados com calma.
Definição (intuição): a derivada de
em relação a
mede a taxa de variação instantânea de
quando
muda; geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico em um ponto. Formalmente:
Essa definição é útil para entender, mas na prática usamos regras que tornam o cálculo muito mais rápido.
Regras básicas que vamos usar:
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então
- Regra da constante: a derivada de uma constante é zero. Se
é constante, então
- Regra do múltiplo constante: se
é constante e função, então
- Regra do poder (power rule): para qualquer inteiro
,
Explicação rápida do power rule para
: usando a definição com limite,
Pronto — essa demonstração mostra porque aparece o fator
e por que o expoente diminui uma unidade.
Passo 3
Agora aplicamos as regras à função termo a termo. Como
é soma de três termos, derivamos cada um e somamos.
Termos:
- Primeiro termo:
. Usei a regra do múltiplo constante e do poder: constante multiplicando . Assim,
Pelo power rule
. Logo
- Segundo termo:
. Aqui é um múltiplo constante de . Como , temos
- Terceiro termo:
. É constante, então pela regra da constante
Passo 4
Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
Simplificando:
Podemos também fatorar para ver outra forma equivalente:
Passo 5
Verificação rápida e interpretação (útil para prova):
- Em
: . A inclinação da tangente em é . - Em
: . Isso indica um ponto crítico (reta tangente horizontal) em .
Esses pequenos cheques ajudam a ter confiança na resposta durante a prova.