Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x+1} e pede a derivada \dfrac{d y}{d x} (ou f'(x)).\n
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x+1}.
  • Domínio natural (onde a função é real): x>-1.
    \n
    O objetivo é calcular f'(x), isto é, a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Reescreve a raiz como potência para usar regras de derivação mais simples. A raiz quadrada pode ser escrita como potência com expoente 1/2:
f(x)=(x+1)^{1/2}.
Isso facilita aplicar a regra do poder (power rule).

Passo 3

Apresentar a regra do poder e a regra da cadeia (ambas serão usadas).
  • Regra do poder: para uma função g(u)=u^{n} com n real, a derivada em relação a u é
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui u é a variável da função exterior (por exemplo u=x ou u=\text{algo}(x)), e n é o expoente.
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)) é uma composição, então
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função exterior g avaliando em u(x) e multiplicar pela derivada da função interior u(x).

Passo 4

Identificar exterior e interior na nossa função:
  • Função exterior g(u)=u^{1/2}.
  • Função interior u(x)=x+1.
    Aplicando a regra do poder à função exterior:
g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
Derivada da função interior:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\tfrac{1}{2}(x+1)^{-1/2}\cdot 1.
Agora simplificar a expressão usando que u^{-1/2}=1/\sqrt{u}:
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Lembrete: essa derivada vale para x>-1, que é o domínio onde f é real.

Passo 6

Dica prática para prova (memorização útil): para qualquer função da forma \sqrt{ax+b}=(ax+b)^{1/2},
\frac{d}{dx}\sqrt{ax+b}=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}.
No nosso caso a=1 e b=1, voltando ao resultado acima.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}

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