Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.\n
Informações relevantes:\n
Informações relevantes:\n
- A função é uma composição envolvendo a exponencial natural
aplicada a .\n - Não há mais restrições nem pontos especiais mencionados; queremos a expressão geral de
.
Passo 2
Relembrando uma propriedade fundamental: a derivada da função exponencial
é ela mesma. Ou seja,
Explicação curta e intuitiva do porquê: usando a definição de derivada,
Sabe-se (é um limite padrão) que
. Portanto
.\n
Aqui é a variável independente;
é o incremento que tende a zero.
Aqui
Passo 3
Como nossa função é uma composição, vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples e prática:\n
Se temos duas funções e
e definimos a composição
, então a derivada de
é dada por
Se temos duas funções
O que isso significa em palavras: derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicamos pelo derivado da função interna
.\n
Exemplo simples para fixar: se e
, então
e
Exemplo simples para fixar: se
Aqui ficou claro: derivada da exponencial (externa) é a própria exponencial avaliada na interna, vezes a derivada da interna.
Passo 4
Aplicando isso ao problema: escrevemos a função como composição escolhendo
Agora calculamos as derivadas necessárias:\n
- Derivada da externa:
(pela propriedade do Passo 2). Aqui é a variável de .\n - Derivada da interna:
. Aqui usamos a regra básica de derivação de uma constante multiplicando a variável: a derivada de é .\n
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
, obtemos
Passo 5
Pequena verificação numérica para conforto: escolha
. Temos
. A derivada calculada dá
. Se você aproximar numericamente a razão incremental
para
pequeno, verá que tende a
, confirmando que a fórmula faz sentido.\n
Dica para a prova: ao ver , pense imediatamente em regra da cadeia — derive o “algo” e multiplique pela exponencial avaliada naquele “algo”. Isso costuma economizar tempo.
Dica para a prova: ao ver