Calcule f^{\prime}(x)
f(x)=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=e^{3x} e pede para calcular a derivada \displaystyle f'(x).\n
Informações relevantes:\n
  • A função é uma composição envolvendo a exponencial natural e^{t} aplicada a t=3x.\n
  • Não há mais restrições nem pontos especiais mencionados; queremos a expressão geral de \displaystyle f'(x).

Passo 2

Relembrando uma propriedade fundamental: a derivada da função exponencial \displaystyle e^{x} é ela mesma. Ou seja,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicação curta e intuitiva do porquê: usando a definição de derivada,
\frac{d}{dx}e^{x}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} =\lim_{h\to 0}e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h} =e^{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Sabe-se (é um limite padrão) que \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1. Portanto \displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.\n
Aqui \displaystyle x é a variável independente; h é o incremento que tende a zero.

Passo 3

Como nossa função é uma composição, vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples e prática:\n
Se temos duas funções g e h e definimos a composição \displaystyle F(x)=g(h(x)), então a derivada de F é dada por
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso significa em palavras: derivamos a função externa g avaliando-a na função interna h(x), e multiplicamos pelo derivado da função interna h.\n
Exemplo simples para fixar: se g(t)=e^{t} e h(x)=2x, então F(x)=e^{2x} e
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}.
Aqui ficou claro: derivada da exponencial (externa) é a própria exponencial avaliada na interna, vezes a derivada da interna.

Passo 4

Aplicando isso ao problema: escrevemos a função como composição escolhendo
g(t)=e^{t}\qquad\text{e}\qquad h(x)=3x.
Agora calculamos as derivadas necessárias:\n
  • Derivada da externa: \displaystyle g'(t)=e^{t} (pela propriedade do Passo 2). Aqui t é a variável de g.\n
  • Derivada da interna: \displaystyle h'(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3. Aqui usamos a regra básica de derivação de uma constante multiplicando a variável: a derivada de \displaystyle a x é a.\n
    Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=e^{h(x)}\cdot 3=3e^{h(x)}.
Substituindo h(x)=3x, obtemos
f'(x)=3e^{3x}.

Passo 5

Pequena verificação numérica para conforto: escolha x=0. Temos \displaystyle f(0)=e^{0}=1. A derivada calculada dá \displaystyle f'(0)=3e^{0}=3. Se você aproximar numericamente a razão incremental \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{e^{3h}-1}{h} para h pequeno, verá que tende a 3, confirmando que a fórmula faz sentido.\n
Dica para a prova: ao ver e^{\text{algo}}, pense imediatamente em regra da cadeia — derive o “algo” e multiplique pela exponencial avaliada naquele “algo”. Isso costuma economizar tempo.

Resposta

\displaystyle f'(x)=3e^{3x}

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