Calcule f^{\prime}(x)
y=\ln \left(x^{2}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x). Dado:
y=\ln\left(x^{2}+3\right).
Informações relevantes:
\text{função }f(x)=\ln\left(x^{2}+3\right),çã
e a tarefa é encontrar a derivada f'(x) em termos de x. Não há restrição adicional no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula-chave que vamos usar: se temos uma função composta \displaystyle y=\ln\big(u(x)\big), então a derivada em relação a x é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural. A fórmula é
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot \frac{du}{dx}.
Explicando devagar: \frac{d}{du}\big(\ln u\big)=\frac{1}{u} significa que, se você derivar \ln u em relação à variável interna u, obtém \frac{1}{u}. Como u depende de x, pela regra da cadeia multiplicamos por \frac{du}{dx}.

Passo 3

Identificamos a função interna u(x). Aqui:
u(x)=x^{2}+3.
Agora calculamos a derivada de u em relação a x. Usamos a regra do poder (power rule): \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Aplicando a x^{2} e lembrando que a derivada de constante é zero:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+3\big)=2x+0=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 substituindo u(x) e \frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{x^{2}+3}\cdot 2x.
Multiplicando fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+3}.

Passo 5

Observações úteis para a prova e intuição: a expressão \displaystyle \frac{2x}{x^{2}+3} está definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+3>0 sempre. Note que a derivada é uma função ímpar (porque numerador é ímpar e denominador é par), então f'(0)=0, f'(x)>0 para x>0 e f'(x)<0 para x<0. Essas observações ajudam a entender crescimento/decrescimento da função na hora da prova.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+3}

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