Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Dado:
Informações relevantes:
e a tarefa é encontrar a derivada
em termos de
. Não há restrição adicional no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula-chave que vamos usar: se temos uma função composta
, então a derivada em relação a
é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo natural. A fórmula é
Explicando devagar:
significa que, se você derivar
em relação à variável interna
, obtém
. Como
depende de
, pela regra da cadeia multiplicamos por
.
Passo 3
Identificamos a função interna
. Aqui:
Agora calculamos a derivada de
em relação a
. Usamos a regra do poder (power rule):
. Aplicando a
e lembrando que a derivada de constante é zero:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 substituindo
e
:
Multiplicando fica
Passo 5
Observações úteis para a prova e intuição: a expressão
está definida para todo
porque
sempre. Note que a derivada é uma função ímpar (porque numerador é ímpar e denominador é par), então
,
para
e
para
. Essas observações ajudam a entender crescimento/decrescimento da função na hora da prova.