Resolva a equação diofantina por congruências 97 x+43 y=1. E der a solução dessa equação diofantina nos números naturais. Encontre a resposta por congruência.

Passo 1

O enunciado dá a equação diofantina linear
97x + 43y = 1
e pede duas coisas: (1) resolver por congruências, ou seja, encontrar uma descrição das soluções inteiras usando congruências; (2) dar a solução dessa equação nos números naturais. Informações relevantes: os coeficientes são 97 e 43 e o termo independente é 1. Não há informações adicionais na questão.

Passo 2

Entendendo o que significa “resolver por congruências” (mini-aula): uma congruência módulo m é a relação
a \equiv b \pmod{m}
quando m divide a-b. Para a equação linear ax+by=c é comum transformar numa congruência isolando uma variável, por exemplo
ax \equiv c \pmod{b},
porque daí procuramos o inverso multiplicativo de a módulo b (se existir). O inverso de a módulo b é um número u tal que
au \equiv 1 \pmod{b},
e ele existe exatamente quando \gcd(a,b)=1. No nosso caso, como o lado direito é 1, já esperamos que \gcd(97,43)=1 e logo inversos existirão.

Passo 3

Passando efetivamente para a congruência: da equação 97x+43y=1 temos, reduzindo módulo 43,
97x \equiv 1 \pmod{43}.
Calculamos primeiro 97 \bmod 43. Como 43\cdot 2 = 86, temos 97-86=11, então 97 \equiv 11 \pmod{43}. Assim a congruência fica
11x \equiv 1 \pmod{43}.
Agora precisamos do inverso de 11 módulo 43.

Passo 4

Encontrando o inverso de 11 módulo 43 com o algoritmo de Euclides estendido (mini-aula sobre o algoritmo): fazemos divisões sucessivas para achar o gcd e depois voltamos as substituições para escrever 1 como combinação linear de 11 e 43.
Divisões:
43 = 11\cdot 3 + 10,
11 = 10\cdot 1 + 1,
10 = 1\cdot 10 + 0.
Como o resto final foi 1, \gcd(11,43)=1, como esperávamos. Agora voltamos substituindo para expressar 1 em termos de 11 e 43:
1 = 11 - 10\cdot 1.
Mas 10 = 43 - 11\cdot 3, então
1 = 11 - (43 - 11\cdot 3) = 11\cdot 4 - 43\cdot 1.
Isto mostra que 11\cdot 4 \equiv 1 \pmod{43}. Portanto o inverso de 11 módulo 43 é 4, isto é
x \equiv 4 \pmod{43}.

Passo 5

A partir de x \equiv 4 \pmod{43} obtemos a parametrização das soluções inteiras para x:
x = 4 + 43t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Agora substituímos na equação original para achar y. Substituindo:
97(4+43t) + 43y = 1.
Desenvolvendo:
97\cdot 4 + 97\cdot 43t + 43y = 1.
Calculamos 97\cdot 4 = 388. Agrupando os termos com 43:
388 + 43(97t + y) = 1.
Isolando:
43(97t + y) = 1 - 388 = -387.
Como 43 divide o lado esquerdo, divide também o lado direito; de fato -387/43 = -9. Logo
97t + y = -9,
e daí
y = -9 - 97t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Resumo: todas as soluções inteiras são
x = 4 + 43t,\qquad y = -9 - 97t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
(Observação didática: isto bate com a fórmula geral para ax+by=c quando \gcd(a,b)=d: se (x_0,y_0) é uma solução particular, as soluções gerais são x=x_0 + (b/d)k,\; y=y_0 - (a/d)k. Aqui d=1, b=43, a=97, e (x_0,y_0)=(4,-9).)

Passo 6

Agora vamos à parte sobre números naturais. Vou tomar a definição usual prática \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (se preferes \mathbb{N}=\{1,2,\dots\}, o raciocínio é análogo e o resultado final é o mesmo). Queremos x\ge 0 e y\ge 0.
Das fórmulas gerais:
x = 4 + 43t \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad t \ge -\tfrac{4}{43}.
Como t é inteiro, isso dá t\ge 0.
Por outro lado,
y = -9 - 97t \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -9 -97t \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 97t \le -9 \quad\Longrightarrow\quad t \le -\tfrac{9}{97}.
Como t é inteiro, isso dá t \le -1.
Não existe inteiro t que satisfaça simultaneamente t\ge 0 e t\le -1. Portanto não há solução com x e y ambos naturais (nem com \mathbb{N} começando em 0, nem começando em 1).

Resposta

x = 4 + 43t,\; y = -9 - 97t,\; t\in\mathbb{Z}.\nNão existem soluções com x,y\in\mathbb{N} (ou seja, nenhum par (x,y) com ambos naturais satisfaz a equação).

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