Resolva a equação diofantina por congruências
. E der a solução dessa equação diofantina nos números naturais. Encontre a resposta por congruência.
Passo 1
O enunciado dá a equação diofantina linear
e pede duas coisas: (1) resolver por congruências, ou seja, encontrar uma descrição das soluções inteiras usando congruências; (2) dar a solução dessa equação nos números naturais. Informações relevantes: os coeficientes são
e
e o termo independente é
. Não há informações adicionais na questão.
Passo 2
Entendendo o que significa “resolver por congruências” (mini-aula): uma congruência módulo
é a relação
quando
divide
. Para a equação linear
é comum transformar numa congruência isolando uma variável, por exemplo
porque daí procuramos o inverso multiplicativo de
módulo
(se existir). O inverso de
módulo
é um número
tal que
e ele existe exatamente quando
. No nosso caso, como o lado direito é
, já esperamos que
e logo inversos existirão.
Passo 3
Passando efetivamente para a congruência: da equação
temos, reduzindo módulo
,
Calculamos primeiro
. Como
, temos
, então
. Assim a congruência fica
Agora precisamos do inverso de
módulo
.
Passo 4
Encontrando o inverso de
módulo
com o algoritmo de Euclides estendido (mini-aula sobre o algoritmo): fazemos divisões sucessivas para achar o gcd e depois voltamos as substituições para escrever
como combinação linear de
e
.
Divisões:
Como o resto final foi
,
, como esperávamos. Agora voltamos substituindo para expressar
em termos de
e
:
Mas
, então
Isto mostra que
. Portanto o inverso de
módulo
é
, isto é
Passo 5
A partir de
obtemos a parametrização das soluções inteiras para
:
Agora substituímos na equação original para achar
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Calculamos
. Agrupando os termos com
:
Isolando:
Como
divide o lado esquerdo, divide também o lado direito; de fato
. Logo
e daí
Resumo: todas as soluções inteiras são
(Observação didática: isto bate com a fórmula geral para
quando
: se
é uma solução particular, as soluções gerais são
. Aqui
,
,
, e
.)
Passo 6
Agora vamos à parte sobre números naturais. Vou tomar a definição usual prática
(se preferes
, o raciocínio é análogo e o resultado final é o mesmo). Queremos
e
.
Das fórmulas gerais:
Como
é inteiro, isso dá
.
Por outro lado,
Como
é inteiro, isso dá
.
Não existe inteiro
que satisfaça simultaneamente
e
. Portanto não há solução com
e
ambos naturais (nem com
começando em
, nem começando em
).