Calcule f^{\prime}(x) em que:
f(x)=4 x^{3}+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada f^{\prime}(x). Dados:
f(x)=4x^{3}+x^{2}.
O que se pede: calcular f^{\prime}(x), ou seja, a taxa de variação instantânea de f em um ponto arbitrário x.

Passo 2

Conceito rápido e útil: a derivada de uma função f em x é, por definição,
f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é um incremento pequeno em x. Essa definição diz, na prática, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x. Não precisamos usar o limite diretamente para polinômios porque há regras que aceleram o cálculo (e que são justamente derivadas da definição).

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e u(x) uma função, (c\cdot u)^{\prime}(x)=c\cdot u^{\prime}(x).
  • Regra do poder (power rule): para inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Explicação rápida do power rule para n=3 (exemplo concreto, usando a definição): (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}. Então
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2},
e fazendo h\to0 o limite dá 3x^{2}. Portanto \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. O passo análogo funciona para qualquer n (com binômio ou argumentos mais gerais).

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante e a regra do poder à primeira parcela 4x^{3}:
  • Primeiro, a derivada de x^{3} é 3x^{2} (veja o exemplo do passo anterior).
  • Como há o factor constante 4, a derivada de 4x^{3} é
4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.

Passo 5

Agora a segunda parcela x^{2}: pela regra do poder, a derivada de x^{2} é
2x.

Passo 6

Pela regra da soma, a derivada de f(x)=4x^{3}+x^{2} é a soma das derivadas das parcelas que encontramos nos passos anteriores (mantendo a linearidade).

Resposta

f^{\prime}(x)=12x^{2}+2x

Exercícios relacionados