Calcule
em que:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
. Dados:
O que se pede: calcular
, ou seja, a taxa de variação instantânea de
em um ponto arbitrário
.
Passo 2
Conceito rápido e útil: a derivada de uma função
em
é, por definição,
quando esse limite existe. Aqui
é um incremento pequeno em
. Essa definição diz, na prática, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. Não precisamos usar o limite diretamente para polinômios porque há regras que aceleram o cálculo (e que são justamente derivadas da definição).
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
é constante e uma função, . - Regra do poder (power rule): para inteiro positivo
,
Explicação rápida do power rule para
(exemplo concreto, usando a definição):
. Então
e fazendo
o limite dá
. Portanto
. O passo análogo funciona para qualquer
(com binômio ou argumentos mais gerais).
Passo 4
Aplicando a regra do fator constante e a regra do poder à primeira parcela
:
- Primeiro, a derivada de
é (veja o exemplo do passo anterior). - Como há o factor constante
, a derivada de é
Passo 5
Agora a segunda parcela
: pela regra do poder, a derivada de
é
Passo 6
Pela regra da soma, a derivada de
é a soma das derivadas das parcelas que encontramos nos passos anteriores (mantendo a linearidade).