Determine o valor real de
que satisfaz a equação
.
a) 3
b) 8
c) 2
d) 9
a) 3
b) 8
c) 2
d) 9
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para determinar o valor real de
que a satisfaz. Há alternativas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes dadas:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - O logaritmo tem base
. - O resultado do logaritmo é
.
Passo 2
Relembrando a definição de logaritmo (aquela que sempre salva a vida na prova): para
,
, e
,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a base do logaritmo (aqui ); -
é o argumento do logaritmo (aqui ); -
é o valor do logaritmo (aqui ).
Também é importante lembrar a condição de existência do logaritmo: o argumento deve ser positivo, isto é,
Vamos usar a equivalência logaritmo ↔ potência para transformar a equação em uma equação mais simples.
Passo 3
Aplicando a definição de logaritmo à equação
, obtemos
Passo 4
Calcule
e isole
:
logo
Calcule a diferença:
Passo 5
Agora extraímos a raiz cúbica em ambos os lados. Para números reais, a equação
tem exatamente uma raiz real:
porque
.
Passo 6
Verificação rápida (sempre boa na prova): substituindo
no argumento do logaritmo,
então o logaritmo está definido, e
confere com a equação original.
Passo 7
Concluímos que a solução real da equação é
, que corresponde à alternativa \text{©}).
Resposta
c)