Determine o valor real de x que satisfaz a equação \log _{3}\left(x^{3}+19\right)=3.
a) 3
b) 8
c) 2
d) 9

Passo 1

O enunciado fornece a equação \log_{3}\!\bigl(x^{3}+19\bigr)=3 e pede para determinar o valor real de x que a satisfaz. Há alternativas:
a) 3
b) 8
c) 2
d) 9
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do logaritmo é x^{3}+19.
  • O logaritmo tem base 3.
  • O resultado do logaritmo é 3.

Passo 2

Relembrando a definição de logaritmo (aquela que sempre salva a vida na prova): para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_{a}(b)=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.
Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base do logaritmo (aqui a=3);
  • b é o argumento do logaritmo (aqui b=x^{3}+19);
  • c é o valor do logaritmo (aqui c=3).
Também é importante lembrar a condição de existência do logaritmo: o argumento deve ser positivo, isto é,
x^{3}+19>0.
Vamos usar a equivalência logaritmo ↔ potência para transformar a equação em uma equação mais simples.

Passo 3

Aplicando a definição de logaritmo à equação \log_{3}\!\bigl(x^{3}+19\bigr)=3, obtemos
x^{3}+19=3^{3}.

Passo 4

Calcule 3^{3} e isole x^{3}:
3^{3}=27,
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x^{3}+19=27 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=27-19.
Calcule a diferença:
x^{3}=8.

Passo 5

Agora extraímos a raiz cúbica em ambos os lados. Para números reais, a equação x^{3}=8 tem exatamente uma raiz real:
x=\sqrt[3]{8}=2,
porque 2^{3}=8.

Passo 6

Verificação rápida (sempre boa na prova): substituindo x=2 no argumento do logaritmo,
x^{3}+19=2^{3}+19=8+19=27>0,
então o logaritmo está definido, e
\log_{3}\!(27)=\log_{3}\!(3^{3})=3,
confere com a equação original.

Passo 7

Concluímos que a solução real da equação é x=2, que corresponde à alternativa \text{©}).

Resposta

c) 2

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