Seja o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+4 \mathrm{x}^{2}-5, onde o expoente n é dado por \mathrm{n}=\log _{5} 625. Qual é o grau do polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x}) ?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=2x^{n}+4x^{2}-5 e informa que o expoente n é \,n=\log_{5}625. A pergunta é: qual é o grau do polinômio P(x)? As opções são: a) 2, b) 3, c) 5, d) 4.
Informações relevantes:
  • O polinômio é P(x)=2x^{n}+4x^{2}-5.
  • O expoente n vale \log_{5}625.
  • Grau de um polinômio é o maior expoente de x que tem coeficiente diferente de zero.

Passo 2

Breve revisão do que é \log: por definição, \log_{b}a=c significa que b^{c}=a. Ou seja, o logaritmo responde a pergunta: “qual potência de b é igual a a?”.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso \,n=\log_{5}625: precisamos escrever 625 como potência de 5. Observa-se que
625=25\cdot25=(5^{2})\cdot(5^{2})=5^{4}.
Portanto, pela definição de logaritmo,
n=\log_{5}625=4,
porque 5^{4}=625.

Passo 4

Relembrando o que é grau de polinômio: o grau é o maior expoente de x que aparece no polinômio com coeficiente diferente de zero. No polinômio P(x)=2x^{n}+4x^{2}-5 os expoentes são n, 2 e, implicitamente, 0 (do termo constante -5).

Passo 5

Substituindo n=4 em P(x) obtemos P(x)=2x^{4}+4x^{2}-5. Os expoentes presentes são 4, 2 e 0. O maior deles é 4, e os coeficientes respectivos são diferentes de zero, logo o grau de P(x) é 4.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a resposta correta é a alternativa d).

Resposta

d) 4

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