Calcule
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. O exercício solicita que calculemos a derivada da função $ f(x) = 4 + 5x^{2} \ln x $. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que envolvem produtos de funções e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é composta por duas partes: uma constante, 4, e a função $ 5x^{2} \ln x $. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então nos concentraremos na derivada de $ 5x^{2} \ln x $.
Passo 3
Para derivar $ 5x^{2} \ln x $, usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = 5x^{2} $ e $ v(x) = \ln x $.
Passo 4
Calculamos primeiro as derivadas individuais:
- Derivada de $ u(x) = 5x^{2} $:
- Derivada de $ v(x) = \ln x $:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:
Passo 6
Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
Podemos fatorar o $ 5x $:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: