Calcule f^prime(x).
f(x)=4+5 x^2 ln x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. O exercício solicita que calculemos a derivada da função $ f(x) = 4 + 5x^{2} \ln x $. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que envolvem produtos de funções e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função $ f(x) $ é composta por duas partes: uma constante, 4, e a função $ 5x^{2} \ln x $. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então nos concentraremos na derivada de $ 5x^{2} \ln x $.

Passo 3

Para derivar $ 5x^{2} \ln x $, usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Aqui, $ u(x) = 5x^{2} $ e $ v(x) = \ln x $.

Passo 4

Calculamos primeiro as derivadas individuais:
  • Derivada de $ u(x) = 5x^{2} $:
u(x) = 5x^2
  • Derivada de $ v(x) = \ln x $:
u'(x) = 10x

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
ddx(5x^2 ln x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 10x ln x + 5x^2 cdot 1x
Simplificando a segunda parte:
5x^2 cdot 1x = 5x

Passo 6

Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Podemos fatorar o $ 5x $:
f'(x) = 0 + 10x ln x + 5x = 10x ln x + 5x

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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