Calcule f^prime(x) em que f(x) é igual a
x sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = x \cdot \sin(x) $. Isso está no assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são o produto de duas outras funções. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a $ x $. No nosso caso, queremos saber como $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ muda conforme $ x $ muda.

Passo 3

Como nossa função é o produto de duas funções, $ u(x) = x $ e $ v(x) = \sin(x) $, vamos usar a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Derivada de $ u(x) = x $: u(x) = x
  • Derivada de $ v(x) = \sin(x) $: u'(x) = 1

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = 1 cdot sin(x) + x cdot cos(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ é:
f(x) = x cdot sin(x)

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