Calcule
em que
é igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = x \cdot \sin(x) $. Isso está no assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são o produto de duas outras funções. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a $ x $. No nosso caso, queremos saber como $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ muda conforme $ x $ muda.
Passo 3
Como nossa função é o produto de duas funções, $ u(x) = x $ e $ v(x) = \sin(x) $, vamos usar a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Derivada de $ u(x) = x $:
- Derivada de $ v(x) = \sin(x) $:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ é: