Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. M=x e^y-x^2, x=2 u v, y=u-v, z=u+v;
partial Mpartial u, partial Mpartial v quando u=3, v=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como depende de e através das funções , , e . Vamos precisar aplicar a derivada parcial e a Regra da Cadeia para conectar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, para encontrar e , vamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular partial Mpartial x = e^y - x^2 + x cdot e^y - x^2 cdot (-2x) = e^y - x^2 (1 - 2x^2) e partial Mpartial y = x cdot e^y - x^2 :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x = 2uv Rightarrow partial xpartial u = 2v e partial xpartial v = 2u e y = u - v Rightarrow partial ypartial u = 1 e partial ypartial v = -1 em relação a e :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial Mpartial u = partial Mpartial x cdot partial xpartial u + partial Mpartial y cdot partial ypartial u :
partial Mpartial u = e^y - x^2 (1 - 2x^2) cdot 2v + x cdot e^y - x^2 cdot 1
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Simplificando:
partial Mpartial u = 2v e^y - x^2 (1 - 2x^2) + x e^y - x^2
= e^y - x^2 (2v (1 - 2x^2) + x)

Passo 7

De forma similar, para partial Mpartial v = partial Mpartial x cdot partial xpartial v + partial Mpartial y cdot partial ypartial v :
partial Mpartial v = e^y - x^2 (1 - 2x^2) cdot 2u + x cdot e^y - x^2 cdot (-1)
Substituindo:

Passo 8

Simplificando:
partial Mpartial v = 2u e^y - x^2 (1 - 2x^2) - x e^y - x^2
= e^y - x^2 (2u (1 - 2x^2) - x)

Passo 9

Agora, precisamos substituir x = 2uv = 2 cdot 3 cdot (-1) = -6 e y = u - v = 3 - (-1) = 4 para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos e :

Passo 10

Substituindo partial Mpartial u = e^4 - (-6)^2 [2 cdot (-1) (1 - 2 cdot (-6)^2) + (-6)] e = e^4 - 36 [ -2 (1 - 72) - 6 ] = e^-32 [ -2 (-71) -6 ] = e^-32 (142 - 6) = e^-32 cdot 136 nas expressões das derivadas:
Para partial Mpartial v = e^4 - (-6)^2 [2 cdot 3 (1 - 2 cdot (-6)^2) - (-6)] :
= e^-32 [6 (1 - 72) +6 ] = e^-32 [6 (-71) +6 ] = e^-32 (-426 +6) = e^-32 cdot (-420)
Para :

Resposta

partial Mpartial u = 136 , e^-32 e partial Mpartial v = -420 , e^-32

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