Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\cos 3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos 3x e pede para calcular a derivada f^{\prime}(x).
Informações relevantes: a função é a composição da função cosseno com a função linear x\mapsto 3x. Não há mais dados necessários.

Passo 2

Conhecimento básico 1: derivada do cosseno.
A derivada da função \cos x em relação a x é
(\cos x)' = -\sin x.
Explicação rápida: isso significa que, quando você varia x um pouquinho, a taxa de variação de \cos x é -\sin x. Vamos usar essa fórmula como ferramenta.

Passo 3

Conhecimento básico 2: derivada de uma função linear.
Se h(x)=kx com k constante, então
h'(x)=k.
No nosso caso concreto, a função interna é 3x, então a sua derivada é 3.

Passo 4

Ferramenta principal: regra da cadeia (explicada de forma simples).
Se temos uma função composta F(x)=g(h(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Interpretação amigável: a variação de F quando x muda é a variação da parte de fora g em função da parte de dentro h (avaliada em h(x)), multiplicada pela taxa de variação de h em relação a x. Pense: “quanto o exterior muda por unidade do interior” vezes “quanto o interior muda por unidade de x”.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia ao nosso problema passo a passo.
Defina a função interna u(x)=3x. Então f(x)=\cos(u(x)).
  1. Derivada da parte de fora em relação a u: usando o Passo 2,
\frac{d}{du}(\cos u) = -\sin u.
  1. Derivada da parte interna em relação a x: usando o Passo 3,
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3.
  1. Agora combine segundo a regra da cadeia (Passo 4):
f'(x)=\left(\frac{d}{du}\cos u\Big|_{u=3x}\right)\cdot u'(x) = (-\sin(3x))\cdot 3.
  1. Simplificando:
f'(x) = -3\sin 3x.
Dica prática para a prova: sempre identifique a “parte de fora” ( \cos) e a “parte de dentro” ( 3x), derive cada uma e multiplique. Para qualquer função do tipo \cos(ax+b), a derivada será -a\sin(ax+b).

Resposta

-3\sin 3x

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