Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{2024}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular f^{\prime}(x), a derivada da função dada.
Informações fornecidas: a função é f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{2024}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula geral útil aqui (não se assuste, eu explico): se temos uma função composta (u(x))^{n}, a derivada obedecerá à regra a seguir:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{n}=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Explicando cada parte: u(x) é a função interior (aquela que está elevada à potência), n é o expoente (um número), e u'(x) é a derivada da função interior. Essa fórmula é a combinação da regra do “expoente” (power rule) com a regra da cadeia (chain rule). Na prática, você deriva como se o interior fosse uma só “coisa” e depois multiplica pela derivada do interior.

Passo 3

Identificamos na nossa função:
u(x)=3x^{2}+1,\qquad n=2024.
Aplicando a fórmula da etapa anterior temos, ainda sem calcular u'(x),
f'(x)=2024\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023}\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Para isso lembramos a regra básica: a derivada de x^{2} é 2x, e a derivada de uma constante é 0. Como u(x)=3x^{2}+1, a constante 3 multiplica x^{2}, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+1\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=3\cdot(2x)+0=6x.
Pequeno lembrete: derivada de a x^{2} é 2a x.

Passo 5

Substituímos u'(x)=6x na expressão de f'(x):
f'(x)=2024\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023}\cdot 6x.

Passo 6

Simplificamos o coeficiente numérico: 2024\cdot 6=(2000+24)\cdot6=12000+144=12144. Portanto
f'(x)=12144\,x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023}.

Passo 7

Pequena verificação mental: a ordem do fator x e do fator \bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023} não importa (multiplicação comutativa). Também podia deixar em forma fatorada como 6\cdot2024\cdot x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023}, mas a forma com o produto numérico já simplificado costuma ser mais limpa na prova. Um erro comum é esquecer de multiplicar pela derivada interior 6x — cuidado com isso!

Resposta

12144\,x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{2023}

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