Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. As informações dadas são:
A tarefa é encontrar
, isto é, a taxa de variação de
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar duas regras que vamos usar (sem resolver ainda): a regra do produto e a regra da cadeia.
Nessa fórmula,
e
são funções de
;
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
A regra da cadeia, usada quando temos uma função composta
, diz:
Aqui
é a função interna e
é a função externa.
Passo 3
Identificamos na nossa função quais são
e
para aplicar a regra do produto. Tome:
Agora vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivando
usando a regra da cadeia.
A função externa é cuja derivada é
.
A função interna é cuja derivada é
.
Aplicando a regra da cadeia:
A função externa é
A função interna é
Aplicando a regra da cadeia:
Explicando: derivamos a forma trigonométrica obtendo
e multiplicamos pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Derivando
. A derivada da função exponencial
é
(regra da cadeia novamente). Aqui
e
. Logo
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto
. Substituindo
:
Passo 7
Colocamos em evidência o fator comum
para simplificar e deixar a resposta mais compacta:
Podemos reordenar os termos dentro dos parênteses para ficar mais “bonito”:
Passo 8
Verificação rápida por analogia (pequena aula prática): se tivéssemos
, seguiríamos o mesmo caminho e obteríamos
. Isso ajuda a checar sinais e fatores ao usar regra do produto + cadeia.