Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\cos (2 x) e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f. As informações dadas são:
f(x)=\cos(2x)\,e^{3x}.
A tarefa é encontrar f^{\prime}(x), isto é, a taxa de variação de f em função de x.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar duas regras que vamos usar (sem resolver ainda): a regra do produto e a regra da cadeia.
(uv)' = u'v + uv'
Nessa fórmula, u e v são funções de x; u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x.
A regra da cadeia, usada quando temos uma função composta h(x)=g(u(x)), diz:
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e g é a função externa.

Passo 3

Identificamos na nossa função quais são u e v para aplicar a regra do produto. Tome:
u(x)=\cos(2x),\qquad v(x)=e^{3x}.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivando u(x)=\cos(2x) usando a regra da cadeia.
A função externa é g(t)=\cos t cuja derivada é g'(t)=-\sin t.
A função interna é t(x)=2x cuja derivada é t'(x)=2.
Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=g'(t(x))\cdot t'(x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).
Explicando: derivamos a forma trigonométrica obtendo -\sin e multiplicamos pela derivada de 2x, que é 2.

Passo 5

Derivando v(x)=e^{3x}. A derivada da função exponencial e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia novamente). Aqui u(x)=3x e u'(x)=3. Logo
v'(x)=e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv'. Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = (-2\sin(2x))\cdot e^{3x} + \cos(2x)\cdot (3e^{3x}).

Passo 7

Colocamos em evidência o fator comum e^{3x} para simplificar e deixar a resposta mais compacta:
f'(x)=e^{3x}\bigl(-2\sin(2x)+3\cos(2x)\bigr).
Podemos reordenar os termos dentro dos parênteses para ficar mais “bonito”:
f'(x)=e^{3x}\bigl(3\cos(2x)-2\sin(2x)\bigr).

Passo 8

Verificação rápida por analogia (pequena aula prática): se tivéssemos g(x)=\sin(2x)e^{3x}, seguiríamos o mesmo caminho e obteríamos g'(x)=e^{3x}(3\sin(2x)+2\cos(2x)). Isso ajuda a checar sinais e fatores ao usar regra do produto + cadeia.

Resposta

f'(x)=e^{3x}\bigl(3\cos(2x)-2\sin(2x)\bigr)

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