Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\cos (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\cos(\operatorname{sen} x) e pede para calcular f^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas: a função é uma composição de duas funções — uma função externa \cos(\cdot) aplicada ao resultado de uma função interna \operatorname{sen} x. Não há outros dados (como valores numéricos) exigidos.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicá-la devagarinho. Se você tem uma função composta (g\circ h)(x)=g(h(x)), a derivada é dada por
(g\circ h)'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso significa, em palavras: para derivar uma composição você deriva a função externa (avaliada na função interna) e multiplica pelo derivado da função interna. Cada símbolo:
  • g é a função externa (depende da variável intermediária u);
  • h é a função interna (depende de x);
  • g'(u) é a derivada de g em relação à sua variável u;
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x.
Um pequeno motivo intuitivo: quando x muda um pouquinho, h(x) muda aproximadamente h'(x) vezes esse pouquinho; essa mudança em h faz g mudar aproximadamente g'(h(x)) vezes a mudança de h. Multiplica-se, por isso.

Passo 3

Identificamos aqui as duas funções:
\text{função interna: } u(x)=\operatorname{sen} x,çã
\text{função externa: } G(u)=\cos u.çã
Agora precisamos das derivadas dessas funções elementares:
  • derivada de \cos u em relação a u é -\sin u. Ou seja,
G'(u)=-\sin u.
  • derivada de \operatorname{sen} x em relação a x é \cos x. Ou seja,
u'(x)=\cos x.
Essas são regras básicas: \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com g=G e h=u, obtemos
f'(x)=G'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo G' e u' das contas do Passo 3:
f'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\cdot \cos x.
Lembrando que u(x)=\operatorname{sen} x, fica
f'(x)=-\sin\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot \cos x.
Podemos reescrever, se preferir, como
f'(x)=-\cos x\;\sin\big(\operatorname{sen} x\big).

Passo 5

Checagem rápida para ganhar confiança: em x=0 temos \operatorname{sen}0=0 e \cos0=1, então
f'(0)=-\sin(\operatorname{sen}0)\cdot\cos0=-\sin(0)\cdot 1=0,
o que é consistente — só uma verificação simples, não necessária, mas útil pra ter certeza de que a fórmula faz sentido.

Resposta

-\sin(\operatorname{sen} x)\cdot \cos x

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