Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas: a função é uma composição de duas funções — uma função externa aplicada ao resultado de uma função interna
. Não há outros dados (como valores numéricos) exigidos.
Informações relevantes fornecidas: a função é uma composição de duas funções — uma função externa
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicá-la devagarinho. Se você tem uma função composta
, a derivada é dada por
O que isso significa, em palavras: para derivar uma composição você deriva a função externa (avaliada na função interna) e multiplica pelo derivado da função interna. Cada símbolo:
-
é a função externa (depende da variável intermediária ); -
é a função interna (depende de ); -
é a derivada de em relação à sua variável ; -
é a derivada de em relação a .
Um pequeno motivo intuitivo: quando
muda um pouquinho,
muda aproximadamente
vezes esse pouquinho; essa mudança em
faz
mudar aproximadamente
vezes a mudança de
. Multiplica-se, por isso.
Passo 3
Identificamos aqui as duas funções:
Agora precisamos das derivadas dessas funções elementares:
- derivada de
em relação a é . Ou seja,
- derivada de
em relação a é . Ou seja,
Essas são regras básicas:
e
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com
e
, obtemos
Substituindo
e
das contas do Passo 3:
Lembrando que
, fica
Podemos reescrever, se preferir, como
Passo 5
Checagem rápida para ganhar confiança: em
temos
e
, então
o que é consistente — só uma verificação simples, não necessária, mas útil pra ter certeza de que a fórmula faz sentido.