Utilize o Exercício anterior para calcular a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{2}(\cos x)(1+\ln x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x^{2}(\cos x)(1+\ln x).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é dada como produto de três fatores: x^{2}, \cos x e 1+\ln x.
  • O logaritmo natural exige x>0, então o domínio considerado aqui é x>0.
  • O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Escolha do método: como f é produto de três funções, vamos usar a regra do produto generalizada. Vou primeiro lembrar a regra do produto e depois aplicá‑la ao caso de três fatores.
Regra do produto (caso geral para três fatores): se definirmos
u(x),\quad v(x),\quad w(x)
como três funções diferenciáveis, então a derivada do produto u(x)v(x)w(x) é
( u v w )' = u' v w + u v' w + u v w'.
Aqui cada termo corresponde a derivar apenas uma das três funções e manter as outras duas sem derivar. Isso vem da regra do produto para dois fatores aplicada duas vezes; é uma extensão direta e muito usada em provas.

Passo 3

Identificamos as três funções e calculamos suas derivadas separadamente:
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\cos x,\quad w(x)=1+\ln x.
Derivadas:
  • Derivada de u(x)=x^{2}: pela regra da potência, (x^{n})' = n x^{n-1}. Logo
u'(x)=2x.
  • Derivada de v(x)=\cos x: sabemos que (\cos x)' = -\sin x. Então
v'(x)=-\sin x.
  • Derivada de w(x)=1+\ln x: derivada de constante é 0 e (\ln x)'=1/x. Assim
w'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto para as três funções:
f'(x)=u' v w + u v' w + u v w'.
Substituindo u,u',v,v',w,w' que encontramos:
f'(x)=2x\cdot\cos x\cdot(1+\ln x)+x^{2}\cdot(-\sin x)\cdot(1+\ln x)+x^{2}\cdot\cos x\cdot\frac{1}{x}.
Cada termo tem significado:
  • Primeiro termo: derivamos x^{2} (ficou 2x) e mantivemos \cos x(1+\ln x).
  • Segundo termo: derivamos \cos x (ficou -\sin x) e mantivemos x^{2}(1+\ln x).
  • Terceiro termo: derivamos 1+\ln x (ficou 1/x) e mantivemos x^{2}\cos x.

Passo 5

Simplificamos o terceiro termo:
x^{2}\cdot\cos x\cdot\frac{1}{x}=x\cos x.
Então a expressão de f'(x) fica
f'(x)=2x\cos x(1+\ln x)-x^{2}\sin x(1+\ln x)+x\cos x.

Passo 6

Agrupamos termos semelhantes para simplificar mais. Note que o primeiro e o terceiro termos têm fator comum x\cos x. Vamos fatorar x\cos x desses termos:
2x\cos x(1+\ln x)+x\cos x = x\cos x\bigl(2(1+\ln x)+1\bigr).
Calculemos o parêntese:
2(1+\ln x)+1 = 2 + 2\ln x + 1 = 3 + 2\ln x.
Portanto os dois termos agrupados viram
x\cos x(3+2\ln x).
Mantendo o termo com \sin x, obtemos a forma simplificada:
f'(x)=x\cos x(3+2\ln x)-x^{2}\sin x(1+\ln x).

Passo 7

Como observação final (útil na prova): também é possível escrever f'(x) de outra forma fatorando x(1+\ln x) em parte da expressão:
f'(x)=x(1+\ln x)\bigl(2\cos x - x\sin x\bigr)+x\cos x.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que ficar mais clara para você no tempo de prova.

Passo 8

Lembrete e incentivo: a derivada obtida é válida para x>0 (por causa de \ln x). Você já aplicou as regras básicas: potência, seno/cosseno, log, e produto — prática que cai direto na prova. Vai dar certo, respira, e repete esse tipo de exercício mais algumas vezes.

Resposta

f'(x)=x\cos x(3+2\ln x)-x^{2}\sin x(1+\ln x)

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