Utilize o Exercício anterior para calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é dada como produto de três fatores:
, e . - O logaritmo natural exige
, então o domínio considerado aqui é . - O que se pede: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Escolha do método: como
é produto de três funções, vamos usar a regra do produto generalizada. Vou primeiro lembrar a regra do produto e depois aplicá‑la ao caso de três fatores.
Regra do produto (caso geral para três fatores): se definirmos
como três funções diferenciáveis, então a derivada do produto
é
Aqui cada termo corresponde a derivar apenas uma das três funções e manter as outras duas sem derivar. Isso vem da regra do produto para dois fatores aplicada duas vezes; é uma extensão direta e muito usada em provas.
Passo 3
Identificamos as três funções e calculamos suas derivadas separadamente:
Derivadas:
- Derivada de
: pela regra da potência, . Logo
- Derivada de
: sabemos que . Então
- Derivada de
: derivada de constante é e . Assim
Passo 4
Aplicando a regra do produto para as três funções:
Substituindo
que encontramos:
Cada termo tem significado:
- Primeiro termo: derivamos
(ficou ) e mantivemos . - Segundo termo: derivamos
(ficou ) e mantivemos . - Terceiro termo: derivamos
(ficou ) e mantivemos .
Passo 5
Simplificamos o terceiro termo:
Então a expressão de
fica
Passo 6
Agrupamos termos semelhantes para simplificar mais. Note que o primeiro e o terceiro termos têm fator comum
. Vamos fatorar
desses termos:
Calculemos o parêntese:
Portanto os dois termos agrupados viram
Mantendo o termo com
, obtemos a forma simplificada:
Passo 7
Como observação final (útil na prova): também é possível escrever
de outra forma fatorando
em parte da expressão:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que ficar mais clara para você no tempo de prova.
Passo 8
Lembrete e incentivo: a derivada obtida é válida para
(por causa de
). Você já aplicou as regras básicas: potência, seno/cosseno, log, e produto — prática que cai direto na prova. Vai dar certo, respira, e repete esse tipo de exercício mais algumas vezes.