Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular f'(x) para a função
f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações e restrições dadas pelo enunciado:
  • A função está escrita como potência com expoente dependente de x.
  • Há uma restrição óbvia: x\neq 0 (porque aparece \frac{1}{x}).
  • Para que \ln que usaremos faça sentido no processo, é preciso que a base seja positiva: 1+\frac{1}{x}>0. Isso ocorre quando x>0 ou x<-1. (Anotação: a derivada formal valem nesses pontos do domínio.)

Passo 2

Escolha do método (e motivo): vou usar diferenciação logarítmica. Explico por quê de forma simples e amiga: quando você tem uma expressão onde tanto a base quanto o expoente dependem de x — aqui \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} — é muito mais fácil tomar logaritmo e transformar a potência em produto. Isso evita ter que aplicar regras complicadas diretamente. Não é truque mágico, é ferramenta padrão. Vamos aplicar.

Passo 3

Começo da log-diferenciação. Seja y=f(x). Definimos
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Observação: agora a parte direita é produto de x por \ln de algo — ótimo para usar a regra do produto.

Passo 4

Diferencio ambos os lados em relação a x. À esquerda uso a regra da cadeia: a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y} porque \dfrac{d}{dx}\ln(y(x))=\dfrac{1}{y(x)}\cdot y'(x). Então
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\left[ x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right].
À direita aplico a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\ln(1+1/x), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'=1. Portanto
\frac{y'}{y} = \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) + x\cdot \frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right].

Passo 5

Agora preciso da derivada de \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right). Uso a regra da cadeia: se w(x)=\ln(u(x)) então w'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=1+\dfrac{1}{x}. Calculo u'(x):
\frac{d}{dx}\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right] = \frac{-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}}.
Agora simplificamos essa fração passo a passo: no denominador 1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}. Assim
\frac{-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}} = -\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x+1} = -\frac{1}{x(x+1)}.

Passo 6

Volto para a expressão de \dfrac{y'}{y}. Substituindo a derivada que encontramos:
\frac{y'}{y} = \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) + x\cdot\left(-\frac{1}{x(x+1)}\right).
O termo envolvendo x simplifica porque x\cdot\left(-\dfrac{1}{x(x+1)}\right) = -\dfrac{1}{x+1}. Então
\frac{y'}{y} = \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}.

Passo 7

Isolo y' multiplicando ambos os lados por y. Lembro que y=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, logo
y' = y\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}\right) = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}\right).
Pronto — essa é a derivada em forma bem limpa.

Passo 8

Pequena checagem numérica simbólica (pra você sentir que bate): por exemplo em x=1,
f(1)=\left(1+1\right)^{1}=2,
e a fórmula dá
f'(1)=2\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right),
o que é um resultado coerente — não precisa calcular o valor numérico agora, só serve pra treinar substituições.

Resposta

f'(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right)

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