Calcule
:
Passo 1
O que o problema pede: calcular
para a função
Informações e restrições dadas pelo enunciado:
- A função está escrita como potência com expoente dependente de
. - Há uma restrição óbvia:
(porque aparece ). - Para que
que usaremos faça sentido no processo, é preciso que a base seja positiva: . Isso ocorre quando ou . (Anotação: a derivada formal valem nesses pontos do domínio.)
Passo 2
Escolha do método (e motivo): vou usar diferenciação logarítmica. Explico por quê de forma simples e amiga: quando você tem uma expressão onde tanto a base quanto o expoente dependem de
— aqui
— é muito mais fácil tomar logaritmo e transformar a potência em produto. Isso evita ter que aplicar regras complicadas diretamente. Não é truque mágico, é ferramenta padrão. Vamos aplicar.
Passo 3
Começo da log-diferenciação. Seja
. Definimos
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Observação: agora a parte direita é produto de
por
de algo — ótimo para usar a regra do produto.
Passo 4
Diferencio ambos os lados em relação a
. À esquerda uso a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
porque
. Então
À direita aplico a regra do produto: se
e
, então
. Aqui
. Portanto
Passo 5
Agora preciso da derivada de
. Uso a regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Calculo
:
Portanto
Agora simplificamos essa fração passo a passo: no denominador
. Assim
Passo 6
Volto para a expressão de
. Substituindo a derivada que encontramos:
O termo envolvendo
simplifica porque
. Então
Passo 7
Isolo
multiplicando ambos os lados por
. Lembro que
, logo
Pronto — essa é a derivada em forma bem limpa.
Passo 8
Pequena checagem numérica simbólica (pra você sentir que bate): por exemplo em
,
e a fórmula dá
o que é um resultado coerente — não precisa calcular o valor numérico agora, só serve pra treinar substituições.