Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando
O método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e pede a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar. A equação é:
y'' - 3y' - 4y = 3e^{2x}.
O que é pedido: determinar a solução geral y(x) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular). Informações dadas:
  • Operador diferencial com coeficientes constantes: termos y'',y',y com coeficientes 1,-3,-4.
  • Termo não-homogêneo (lado direito): 3e^{2x}.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a parte complementar y_h. A homogênea é
y'' - 3y' - 4y = 0.
Explicação da técnica: para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo gera o polinômio característico em r. Esse polinômio é
r^2 - 3r - 4 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Fatorando, nota-se que
r^2 - 3r - 4 = (r-4)(r+1).
Portanto as raízes são r_1 = 4 e r_2 = -1. Como são duas raízes reais simples e distintas, as soluções fundamentais são e^{4x} e e^{-x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (isso vem da linearidade e do fato de termos duas constantes independentes para uma ODE de segunda ordem).

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) de forma didática e prática. Ideia principal:
  • Quando o termo não-homogêneo é uma função “simples” (como polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto deles), supõe-se uma forma (ansatz) para uma solução particular y_p com coeficientes desconhecidos.
  • Substitui-se esse y_p na equação e determina os coeficientes igualando os dois lados.
    Regra importante (ressonância): se a função de forçamento (a do lado direito) coincide com uma solução da homogênea (por exemplo e^{\alpha x} com \alpha sendo raiz do característico), então é preciso multiplicar o ansatz por x^s, onde s é o multiplicidade da raiz \alpha no polinômio característico (por exemplo, se \alpha é raiz simples, multiplica-se por x; se dupla, por x^2, etc.). Se não há coincidência, usa-se um ansatz simples.

Passo 4

Aplicar a regra ao caso concreto com o termo 3e^{2x}. Primeiro verificar ressonância: testar se r=2 é raiz do polinômio característico. Calcula-se
r^2 - 3r - 4\Big|_{r=2} = 2^2 - 3\cdot 2 - 4 = 4 - 6 - 4 = -6 \neq 0.
Como não é zero, e^{2x} não é solução da homogênea — não há ressonância. Portanto um ansatz adequado é simplesmente
y_p(x) = A e^{2x},
onde A é a constante a determinar. (Explicação: escolhe-se o mesmo tipo de função do termo forçante, multiplicada por coeficientes desconhecidos.)

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na ODE para encontrar A. Derivadas:
y_p' = 2A e^{2x},\qquad y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituindo na equação y'' - 3y' - 4y = 3e^{2x}:
4A e^{2x} - 3(2A e^{2x}) - 4(A e^{2x}) = 3e^{2x}.
Fatorando e^{2x} (que nunca é zero), obtemos a equação escalar para A:
(4A - 6A - 4A) e^{2x} = 3 e^{2x} \quad\Rightarrow\quad (4A - 6A - 4A) = 3.
Calcule o lado esquerdo:
4A - 6A - 4A = -6A.
Portanto
-6A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_p(x) = -\tfrac{1}{2} e^{2x}.

Passo 6

Montar a solução geral usando superposição: a solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x} - \tfrac{1}{2} e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Comentário final encorajador: pronto — esse é o procedimento padrão. Se na prova aparecer um termo como xe^{2x} ou e^{4x} do lado direito, lembrar da regra da ressonância e multiplicar por potências de x conforme necessário.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}

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