Calcule f^{\prime}(x)
f(x)=3 x^{5}+\frac{1}{3} x^{4}+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função dada. As informações fornecidas são:
f(x)=3x^{5}+\frac{1}{3}x^{4}+x+2.
A tarefa é encontrar a expressão de f'(x).

Passo 2

Relembrando as regras que usaremos (explicadas de forma direta):
\text{(a) Linearidade: }\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
\text{(b) Constante fator: }\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),\\ \text{onde \(c\) é constante.}é
\text{\text{(c)} Regra do poder (power rule): }\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},\\ \text{para \(n\) inteiro (ou real).}
\text{(d) Derivada de constante: }\frac{d}{dx}\text{(C)}=0,\\ \text{e}\\ \frac{d}{dx}(x)=1.
Essas regras permitem derivar um polinômio termo a termo.

Passo 3

Vamos separar a função em termos e aplicar as regras termo a termo:
f(x)=\underbrace{3x^{5}}_{(1)}+\underbrace{\tfrac{1}{3}x^{4}}_{(2)}+\underbrace{x}_{(3)}+\underbrace{2}_{(4)}.
Usaremos linearidade para derivar cada termo e somar os resultados.

Passo 4

Derivada do termo (1): aplicar constante fator e regra do poder:
\frac{d}{dx}\big(3x^{5}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=3\cdot(5x^{4})=15x^{4}.
Expliquei: tirei o 3 para fora e usei \frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4}.

Passo 5

Derivada do termo (2): idem:
\frac{d}{dx}\Big(\tfrac{1}{3}x^{4}\Big)=\tfrac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=\tfrac{1}{3}\cdot(4x^{3})=\tfrac{4}{3}x^{3}.
Aqui o fator \tfrac{1}{3} sai na frente e usamos \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.

Passo 6

Derivada do termo (3):
\frac{d}{dx}(x)=1.
Porque a derivada de x em relação a x é 1.

Passo 7

Derivada do termo (4):
\frac{d}{dx}(2)=0.
Constantes têm derivada zero.

Passo 8

Somando os resultados termo a termo (pela linearidade):
f'(x)=15x^{4}+\tfrac{4}{3}x^{3}+1+0.

Passo 9

Simplificando a soma (eliminando o zero):
f'(x)=15x^{4}+\tfrac{4}{3}x^{3}+1.
Dica rápida para a prova: ao ver um polinômio, aplique direto a regra do poder em cada monômio; fica super rápido.

Resposta

f'(x)=15x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}+1

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