Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Encontrar os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente de
é o vetor nulo ou onde derivadas parciais não existem). - Usar o Teste da Segunda Derivada para classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou indicar que o teste falha).
Informações fornecidas:
Não há restrições de domínio no enunciado, então assumimos que a função está definida em todo
.
Passo 2
Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). Lembrete rápido e prático: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Cálculo de
:
pois
é constante quando diferenciamos em relação a
e
.
Cálculo de
:
Então o gradiente é
Passo 3
Pontos críticos são soluções do sistema
Note que
. Podemos dividir ambas as equações por
sem problema, obtendo o sistema equivalente
ou simplesmente
Mas não existe
e
, porque
para todo
. Portanto não há solução desse sistema.
Também verificamos que as derivadas parciais existem e são contínuas em todo
, logo não há pontos críticos por indefinição das derivadas.
Conclusão: não existem pontos críticos de
em
.]
Passo 4
Mesmo não havendo pontos críticos, é didaticamente útil calcular as segundas derivadas e o discriminante usado no Teste da Segunda Derivada.
Cálculo das segundas derivadas:
O discriminante (determinante da Hessiana) é
Calculando:
Como
para todo
, temos
para todo
.
Interpretação do Teste da Segunda Derivada: se em algum ponto crítico
tivéssemos
, então esse ponto seria ponto de sela. Aqui observamos que
em todos os pontos, mas o teste só pode ser aplicado em pontos críticos — e já vimos que não existem pontos críticos. Portanto o teste não pode ser usado para classificar pontos que não existem; se por hipótese existisse um ponto crítico, ele seria classificado como ponto de sela porque
em qualquer ponto.
Passo 5
Resumo e conclusão final em linguagem clara e encorajadora: a função
não tem pontos críticos em
. O Teste da Segunda Derivada exige a existência de pontos críticos para classificar extremos locais; como não há pontos críticos, o teste não se aplica. Observação útil: o discriminante é
sempre, então, se existisse algum ponto crítico, seria automaticamente um ponto de sela.
Resposta
Não há pontos críticos.
Classificação pelo Teste da Segunda Derivada: não se aplica (não há pontos críticos). Observação: para todo
,
, logo qualquer ponto crítico, se existisse, seria ponto de sela.