Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=e^{x} \cos y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=e^{x}\cos y:
  • Encontrar os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo ou onde derivadas parciais não existem).
  • Usar o Teste da Segunda Derivada para classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou indicar que o teste falha).
Informações fornecidas:
f(x,y)=e^{x}\cos y,\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^2
Não há restrições de domínio no enunciado, então assumimos que a função está definida em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). Lembrete rápido e prático: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cos y,
pois \cos y é constante quando diferenciamos em relação a x e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)=e^{x}(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
Então o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(e^{x}\cos y,\;-e^{x}\sin y\big).

Passo 3

Pontos críticos são soluções do sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\), ou seja: \[\begin{cases} e^{x}\cos y=0,\\[4pt] -e^{x}\sin y=0. \end{cases}
Note que e^{x}>0\] para todo \[x\in\mathbb{R}. Podemos dividir ambas as equações por e^{x} sem problema, obtendo o sistema equivalente
\begin{cases} \cos y=0,\\[4pt] -\sin y=0, \end{cases}
ou simplesmente
\cos y=0,\qquad \sin y=0.
Mas não existe y\] real que faça simultaneamente \(\cos y=0 e \sin y=0, porque \sin^2 y+\cos^2 y=1 para todo y. Portanto não há solução desse sistema.
Também verificamos que as derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2, logo não há pontos críticos por indefinição das derivadas.
Conclusão: não existem pontos críticos de f em \mathbb{R}^2.]

Passo 4

Mesmo não havendo pontos críticos, é didaticamente útil calcular as segundas derivadas e o discriminante usado no Teste da Segunda Derivada.
Cálculo das segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}=e^{x}\cos y,
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=-e^{x}\sin y,
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy}=-e^{x}\cos y.
O discriminante (determinante da Hessiana) é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^2 = \big(e^{x}\cos y\big)\big(-e^{x}\cos y\big)-\big(-e^{x}\sin y\big)^2.
Calculando:
D(x,y)=-e^{2x}\cos^2 y - e^{2x}\sin^2 y = -e^{2x}\big(\cos^2 y+\sin^2 y\big) = -e^{2x}.
Como e^{2x}>0 para todo x, temos D(x,y)=-e^{2x}<0 para todo (x,y).
Interpretação do Teste da Segunda Derivada: se em algum ponto crítico (x_0,y_0) tivéssemos D(x_0,y_0)<0, então esse ponto seria ponto de sela. Aqui observamos que D<0 em todos os pontos, mas o teste só pode ser aplicado em pontos críticos — e já vimos que não existem pontos críticos. Portanto o teste não pode ser usado para classificar pontos que não existem; se por hipótese existisse um ponto crítico, ele seria classificado como ponto de sela porque D<0 em qualquer ponto.

Passo 5

Resumo e conclusão final em linguagem clara e encorajadora: a função f(x,y)=e^{x}\cos y não tem pontos críticos em \mathbb{R}^2. O Teste da Segunda Derivada exige a existência de pontos críticos para classificar extremos locais; como não há pontos críticos, o teste não se aplica. Observação útil: o discriminante é D=-e^{2x}<0 sempre, então, se existisse algum ponto crítico, seria automaticamente um ponto de sela.

Resposta

Não há pontos críticos.
Classificação pelo Teste da Segunda Derivada: não se aplica (não há pontos críticos). Observação: para todo (x,y), D(x,y)=-e^{2x}<0, logo qualquer ponto crítico, se existisse, seria ponto de sela.

Exercícios relacionados