Encontre o ponto no plano
mais próximo da origem em
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o ponto do plano
que está mais próximo da origem em
. Informações dadas:
- A equação do plano é
. - Queremos o ponto
sobre esse plano que minimiza a distância até a origem .
Não se faz ainda nenhum cálculo neste passo, só identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação do plano para uma forma mais cômoda. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escrevemos isso em forma vetorial. Seja
o vetor posição de um ponto do plano e seja
o vetor normal ao plano. Então a equação do plano pode ser escrita como
onde
é o produto escalar (dot product).
Mini-aula rápida sobre produto escalar e norma:
- O produto escalar entre
e é . - A norma ao quadrado de
é .
Esses conceitos serão usados para projetar vetores e resolver o problema.
Passo 3
Interpretação geométrica essencial (por que isso resolve o problema):
- A distância mais curta da origem a um plano é a distância ao longo da perpendicular ao plano (isto é, ao longo da direção do vetor normal
). Intuitivamente, qualquer deslocamento paralelo ao plano não reduz a componente perpendicular; portanto o ponto mais próximo da origem tem de estar na reta que passa pela origem e é paralela a .
Logo, o ponto buscado tem a forma
para algum escalar
. Aqui
escala o vetor normal para atingir o plano.
Passo 4
Impondo que
satisfaça a equação do plano
, substituímos:
Calculamos
:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o ponto
com
:
Verificação rápida (para ter certeza): substituindo na equação original do plano,
ou seja, o ponto realmente pertence ao plano.
Pequena verificação da distância mínima (opcional): a norma ao quadrado do ponto é
portanto a distância mínima é
. Isso confirma que fizemos a projeção correta.