Encontre o ponto no plano
\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1mais próximo da origem em
\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ponto do plano
\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1
que está mais próximo da origem em \mathbb{R}^3. Informações dadas:
  • A equação do plano é \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1.
  • Queremos o ponto (x,y,z) sobre esse plano que minimiza a distância até a origem (0,0,0).
    Não se faz ainda nenhum cálculo neste passo, só identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação do plano para uma forma mais cômoda. Multiplicando ambos os lados por 4 obtemos
2x+y+z=4.
Escrevemos isso em forma vetorial. Seja \mathbf{r}=(x,y,z) o vetor posição de um ponto do plano e seja
\mathbf{n}=(2,1,1)
o vetor normal ao plano. Então a equação do plano pode ser escrita como
\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=4,
onde \mathbf{n}\cdot\mathbf{r} é o produto escalar (dot product).
Mini-aula rápida sobre produto escalar e norma:
  • O produto escalar entre \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é \displaystyle \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • A norma ao quadrado de \mathbf{a} é \displaystyle \|\mathbf{a}\|^2=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2.
    Esses conceitos serão usados para projetar vetores e resolver o problema.

Passo 3

Interpretação geométrica essencial (por que isso resolve o problema):
  • A distância mais curta da origem a um plano é a distância ao longo da perpendicular ao plano (isto é, ao longo da direção do vetor normal \mathbf{n}). Intuitivamente, qualquer deslocamento paralelo ao plano não reduz a componente perpendicular; portanto o ponto mais próximo da origem tem de estar na reta que passa pela origem e é paralela a \mathbf{n}.
    Logo, o ponto buscado tem a forma
\mathbf{r}=\lambda \mathbf{n}
para algum escalar \lambda\in\mathbb{R}. Aqui \lambda escala o vetor normal para atingir o plano.

Passo 4

Impondo que \mathbf{r}=\lambda\mathbf{n} satisfaça a equação do plano \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=4, substituímos:
\mathbf{n}\cdot(\lambda\mathbf{n})=\lambda(\mathbf{n}\cdot\mathbf{n})=4.
Calculamos \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=\|\mathbf{n}\|^2:
\|\mathbf{n}\|^2=2^2+1^2+1^2=4+1+1=6.
Portanto
\lambda\cdot 6 = 4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Agora calculamos o ponto \mathbf{r}=\lambda\mathbf{n} com \lambda=\frac{2}{3}:
\mathbf{r}=\frac{2}{3}(2,1,1)=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).
Verificação rápida (para ter certeza): substituindo na equação original do plano,
2\cdot\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=\frac{12}{3}=4,
ou seja, o ponto realmente pertence ao plano.
Pequena verificação da distância mínima (opcional): a norma ao quadrado do ponto é
\|\mathbf{r}\|^2=\lambda^2\|\mathbf{n}\|^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 6=\frac{4}{9}\cdot 6=\frac{24}{9}=\frac{8}{3},
portanto a distância mínima é \sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}. Isso confirma que fizemos a projeção correta.

Resposta

\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)

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