Calcule f^{\prime}(x) em que:
f(x)=3 x^{5}+\frac{1}{3} x^{4}+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função polinomial. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=3x^{5}+\dfrac{1}{3}x^{4}+x+2.
  • A tarefa é encontrar f^{\prime}(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadinhas devagarinho):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=a(x)+b(x) então g'(x)=a'(x)+b'(x).
  • Regra da constante multiplicativa: se c é constante e h(x) é função, então (c\cdot h(x))' = c\cdot h'(x).
  • Regra do poder (power rule): para um monômio \,x^{n} com n real, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa que, para a x^{n} com a constante,
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Vou aplicar essas regras termo a termo no polinômio dado.

Passo 3

Derivada do primeiro termo: 3x^{5}.
Aplicando a regra do poder junto com a constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{5}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=3\cdot(5x^{4})=15x^{4}.
Explicação: multiplica-se o expoente 5 pela constante 3 e diminui-se o expoente em uma unidade, ficando x^{4}.

Passo 4

Derivada do segundo termo: \dfrac{1}{3}x^{4}.
Aplicando a mesma ideia:
\frac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{3}x^{4}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=\dfrac{1}{3}\cdot(4x^{3})=\dfrac{4}{3}x^{3}.
Explicação: o coeficiente \dfrac{1}{3} permanece multiplicando, o expoente 4 desce e o novo expoente vira 3.

Passo 5

Derivada do terceiro termo: x.
Escrevendo x como 1\cdot x^{1} e aplicando a regra do poder:
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\cdot x^{1}\bigr)=1\cdot(1\cdot x^{0})=1.
Explicação: o expoente 1 desce e x^{0}=1, então a derivada de x é 1.

Passo 6

Derivada do quarto termo: 2.
Como 2 é constante, pela regra da derivada de constante:
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Agora somo todas as derivadas termo a termo (regra da soma):
f^{\prime}(x)=15x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}+1+0.
Posso eliminar o +0 final:
f^{\prime}(x)=15x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}+1.
Se quiser, pode-se também factorear algo, mas não é necessário. A forma acima já é a forma padrão da derivada.

Resposta

f^{\prime}(x)=15x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}+1

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