Calcule F^{\prime}(x) para:
F(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x} \operatorname{sen}\left(x^{2} t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt
e pede F'(x). O conteúdo é a derivada de uma integral cujos limites e o próprio integrando dependem de x. Vamos usar a regra de Leibniz para diferenciar sob o sinal de integral.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, para
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,
temos
G'(x) =\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt +f\bigl(x,b(x)\bigr)\,b'(x) -f\bigl(x,a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Aqui f(x,t)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr). Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) =\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\cdot2x\,t^{2}.
Logo o termo vindo da derivada interna é
\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x}2x\,t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt =2x\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 4

Agora os termos de limite:
  • Limite superior b(x)=\operatorname{cosh} x, b'(x)=\operatorname{sinh} x. Então
f\bigl(x,\operatorname{cosh} x\bigr)\,b'(x) =\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}^{2}x\bigr)\,\operatorname{sinh} x.
  • Limite inferior a(x)=\cos x, a'(x)=-\operatorname{sen} x. Então
-f\bigl(x,\cos x\bigr)\,a'(x) =-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\cos^{2}x\bigr)\cdot(-\operatorname{sen} x) =\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\cos^{2}x\bigr)\,\operatorname{sen} x.

Passo 5

Somando todos os termos da regra de Leibniz, obtemos
F'(x) =2x\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt +\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}^{2}x\bigr)\operatorname{sinh} x +\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\cos^{2}x\bigr)\operatorname{sen} x.

Resposta

F'(x) =2x\int_{\cos x}^{\operatorname{cosh} x}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt +\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}^{2}x\bigr)\operatorname{sinh} x +\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\cos^{2}x\bigr)\operatorname{sen} x.

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