Calcule F^{\prime}(x) para:
F(x)=\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+t^{2}}\,dt
e pede F'(x). Vamos primeiro encontrar uma expressão fechada para F(x) (integrando em t) e depois aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Observe que
\frac{d}{dt}\Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{t}{x}\bigr)\Bigr] = \frac{1/x}{1+(t/x)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+t^{2}}.
Portanto, integrando de t=0 a t=1,
F(x) =\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+t^{2}}\,dt =\Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{t}{x}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\arctan(0) =\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).

Passo 3

Agora escreva F(x)=\arctan(u(x)) com u(x)=1/x. Pela regra da cadeia,
F'(x) =\frac{1}{1+u(x)^{2}}\;u'(x).

Passo 4

Calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^{2}}, \quad 1+u(x)^{2}=1+\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2} =\frac{x^{2}+1}{x^{2}},
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\frac{1}{1+u(x)^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.
Substituindo,
F'(x) =\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{1}{x^{2}+1}.

Resposta

F'(x)=-\frac{1}{x^{2}+1}.

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