- Seja
F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) d t
sendo
a, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções deriváveis e
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe
\mathcal{C}^{1}. Mostre que
F^{\prime}(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t+f(x, b(x)) b^{\prime}(x)-f(x, a(x)) a^{\prime}(x)
Para resolver o exercício a seguir você vai precisar da Regra da Cadeia, do Teorema Fundamental do Cálculo e do seguinte resultado:
Teorema: Seja
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe
\mathcal{C}^{1} e defina a função
\Phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} por
\Phi(x)=\int_{a}^{b} f(x, t) d t. Então a função
\Phi é derivável e vale que
\Phi^{\prime}(x)=\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t.