Seja F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) d t
sendo a, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções deriváveis e f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe \mathcal{C}^{1}. Mostre que
Para resolver o exercício a seguir você vai precisar da Regra da Cadeia, do Teorema Fundamental do Cálculo e do seguinte resultado:
Teorema: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe \mathcal{C}^{1} e defina a função \Phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} por \Phi(x)=\int_{a}^{b} f(x, t) d t. Então a função \Phi é derivável e vale que \Phi^{\prime}(x)=\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t.
Passo 1
O enunciado define
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt
e pede F'(x). Aqui usamos
– o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais com limite variável,
– a regra já dada: se \Phi(x)=\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt então \Phi'(x)=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt,
– e a Regra da Cadeia para compor com a(x) e b(x).