Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre o retângulo
.
O que vamos usar: linearidade da integral dupla (separar em duas integrais) e, para cada parte, integração iterada.
O que vamos usar: linearidade da integral dupla (separar em duas integrais) e, para cada parte, integração iterada.
Passo 2
Pela linearidade, escrevemos
Como
é um retângulo, cada integral dupla vira um produto de integrais simples:
Passo 3
Na primeira integral, integramos em
primeiro, o que só traz um fator
:
Fazemos a substituição
, então
e
.
Quando vem
e quando
vem
. Logo
Quando
Multiplicando por
, a primeira parte fica
.
Passo 4
Na segunda integral, integramos em
primeiro:
Depois integramos em
de
a
, o que só multiplica por
. Então a segunda parte vale
.
Passo 5
Subtraindo as duas partes, o valor da integral dupla é