Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} \frac{x^{3}}{1+x^{4}}-\frac{1}{e^{3 y}} d A \quad R=[-1,0] \times[0,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\Bigl(\frac{x^{3}}{1+x^{4}}-\frac{1}{e^{3y}}\Bigr)\,dA
sobre o retângulo R=[-1,0]\times[0,4].
O que vamos usar: linearidade da integral dupla (separar em duas integrais) e, para cada parte, integração iterada.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\iint_{R}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dA \;-\;\iint_{R}e^{-3y}\,dA.
Como R é um retângulo, cada integral dupla vira um produto de integrais simples:
\int_{x=-1}^{0}\!\!\int_{y=0}^{4}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dy\,dx \;-\; \int_{x=-1}^{0}\!\!\int_{y=0}^{4}e^{-3y}\,dy\,dx.

Passo 3

Na primeira integral, integramos em y primeiro, o que só traz um fator 4:
\int_{x=-1}^{0}\int_{y=0}^{4}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dy\,dx =4\int_{x=-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx.
Fazemos a substituição u=1+x^{4}, então du=4x^{3}dx e x^{3}dx=\frac{du}{4}.
Quando x=-1 vem u=2 e quando x=0 vem u=1. Logo
\int_{x=-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx =\frac{1}{4}\int_{u=2}^{1}\frac{1}{u}\,du =\frac{1}{4}\bigl[\ln(u)\bigr]_{2}^{1} =\frac{1}{4}\bigl(\ln(1)-\ln(2)\bigr) =-\frac{1}{4}\ln(2).
Multiplicando por 4, a primeira parte fica -\ln(2).

Passo 4

Na segunda integral, integramos em y primeiro:
\int_{y=0}^{4}e^{-3y}\,dy =\Bigl[-\tfrac{1}{3}e^{-3y}\Bigr]_{0}^{4} =-\tfrac{1}{3}\bigl(e^{-12}-1\bigr) =\tfrac{1}{3}\bigl(1-e^{-12}\bigr).
Depois integramos em x de -1 a 0, o que só multiplica por 1. Então a segunda parte vale \tfrac{1}{3}(1-e^{-12}).

Passo 5

Subtraindo as duas partes, o valor da integral dupla é
-\ln(2)\;-\;\frac{1}{3}\bigl(1-e^{-12}\bigr) =-\ln(2)-\frac{1}{3}+\frac{e^{-12}}{3}.

Resposta

-\ln(2)\;-\;\frac{1}{3}\bigl(1-e^{-12}\bigr).

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