Calcule f^prime(x)
f(x)=raiz1+tan (x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada de . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivada da função tangente. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e conhecer a derivada de .

Passo 2

Vamos reescrever a função f(x) = (1 + tan(x))^12 de uma forma que facilite a aplicação da derivada. A função pode ser escrita como:
Aqui, identificamos que temos uma função composta, onde a parte interna é e a parte externa é .

Passo 3

Para derivar ddx [u^n] = n cdot u^n-1 cdot dudx , vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que:
f'(x) = 12 cdot (1 + tan(x))^-12 cdot dudx
No nosso caso, e . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar ddx [tan(x)] = sec^2(x) , que é a derivada de dudx = 0 + sec^2(x) = sec^2(x) . Sabemos que:
E a derivada de uma constante (como 1) é 0. Então:

Passo 5

Substituímos f'(x) = 12 cdot (1 + tan(x))^-12 cdot sec^2(x) de volta na expressão de f'(x) = sec^2(x)2 raiz1 + tan(x) :
Simplificando para a forma de raiz quadrada:

Resposta

A derivada de f'(x) = sec^2(x)2 raiz1 + tan(x) é:

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