Questão 1. Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^y integral0^raiz3 z zx^2+z^2 d x d z d y Resp: 2 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral0^2 integral0^y integral0^raiz3 z zx^2+z^2 , dx , dz , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e especificamente com integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em várias variáveis e a ordem das integrais.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a $ x $. A função a integrar é:
x
Aqui, $ z $ é tratado como constante em relação a $ x $. Reconhecemos que a integral de $ \frac{1}{x^{2} + a^{2}} $ é zx^2 + z^2 , onde $ a = z $.

Passo 3

Aplicando essa fórmula, temos:
integral zx^2 + z^2 , dx = z cdot 1z arctan(xz) = arctan(xz)
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de $ x $ de $ 0 $ a $ \sqrt{3} z $:
x

Passo 4

Com isso, a integral original se simplifica para:
integral0^2 integral0^y pi3 , dz , dy
Agora, vamos integrar em relação a $ z $. A integral de uma constante $ \frac{\pi}{3} $ em relação a $ z $ de $ 0 $ a $ y $ é:
z

Passo 5

Substituindo de volta, a integral agora é:
integral0^2 pi3 y , dy
Vamos agora integrar em relação a $ y $. A integral de $ y $ é $ \frac{y^{2}}{2} $, então:
y

Resposta

O valor da integral é 2pi3.

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