Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e especificamente com integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em várias variáveis e a ordem das integrais.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a $ x $. A função a integrar é:
Aqui, $ z $ é tratado como constante em relação a $ x $. Reconhecemos que a integral de $ \frac{1}{x^{2} + a^{2}} $ é , onde $ a = z $.
Passo 3
Aplicando essa fórmula, temos:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de $ x $ de $ 0 $ a $ \sqrt{3} z $:
Passo 4
Com isso, a integral original se simplifica para:
integral0^2 integral0^y pi3 , dz , dy
Agora, vamos integrar em relação a $ z $. A integral de uma constante $ \frac{\pi}{3} $ em relação a $ z $ de $ 0 $ a $ y $ é:
z
Passo 5
Substituindo de volta, a integral agora é:
integral0^2 pi3 y , dy
Vamos agora integrar em relação a $ y $. A integral de $ y $ é $ \frac{y^{2}}{2} $, então: