Questão 1. Calcule a integral iterada.
integral-1^0 integrale^2 e integral0^pi / 3 y ln z tan x d x d z d y Resp: -e(ln 2)^2

Passo 1

Vamos analisar a questão. Temos que calcular uma integral tripla:
integral-1^0 integrale^2 e integral0^pi / 3 y ln z tan x , dx , dz , dy
Esse problema envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Precisamos integrar primeiramente em relação a , depois a e, por fim, a .

Passo 2

Começamos integrando em relação a integral tan x , dx = -ln |cos x| + C . A função a ser integrada é integral0^pi/3 tan x , dx = -ln cos(pi3) + ln cos(0) . Sabemos que:
cos(pi3) = 12 e cos(0) = 1
Aplicando os limites de -ln(12) + ln(1) = ln 2 + 0 = ln 2 a :
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral em integrale^2 e ln z cdot ln 2 cdot y , dz na integral em relação a ln 2 cdot y integrale^2 e ln z , dz :
integral ln z , dz = z ln z - z + C
Como (2e ln(2e) - 2e) - (e ln e - e) = 2e (ln 2 + 1) - 2e - e (1) + e = 2e ln 2 e são constantes em relação a , podemos reescrever:
A integral de é:
Aplicando os limites de a :

Passo 4

Substituindo de volta, temos:
ln 2 cdot y cdot 2e ln 2 = 2e (ln 2)^2 cdot y
Agora, integramos em relação a integral-1^0 2e (ln 2)^2 cdot y , dy :
integral y , dy = y^22 + C
A integral de 2e (ln 2)^2 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 2e (ln 2)^2 (0 - 12) = -e (ln 2)^2 é:
Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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