Questão 1. Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1+y^2 x d z d y d x Resp: 110

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral0^1-x integral2 y^1+y^2 x , dz , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como integrar uma função em três dimensões, uma de cada vez, começando pela variável mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral2 y^1+y^2 x , dz = x cdot (z) |2 y^1+y^2 = x cdot ( (1 + y^2) - (2 y) ) = x cdot (1 + y^2 - 2 y) . A função que estamos integrando é , que não depende de . A integral em relação a fica assim:

Passo 3

Agora, nossa integral simplificada fica:
integral0^1 integral0^1-x x (1 + y^2 - 2 y) , dy , dx
Vamos integrar em relação a x (1 + y^2 - 2 y) = x + x y^2 - 2 x y . Para isso, vamos distribuir o integral0^1-x (x + x y^2 - 2 x y) , dy = x integral0^1-x 1 , dy + x integral0^1-x y^2 , dy - 2x integral0^1-x y , dy :
x integral0^1-x 1 , dy = x (1 - x)
Então, a integral em relação a x integral0^1-x y^2 , dy = x [ y^33 ]0^1-x = x cdot (1 - x)^33 fica:
-2x integral0^1-x y , dy = -2x [ y^22 ]0^1-x = -2x cdot (1 - x)^22 = -x (1 - x)^2
Calculando cada parte:
x (1 - x) + x (1 - x)^33 - x (1 - x)^2
Somando tudo:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
x (1 - x) - x (1 - x)^2 + x (1 - x)^33
Fatorando x [ (1 - x) - (1 - x)^2 + (1 - x)^33 ] :
Agora, vamos integrar isso em relação a de 0 a 1.

Passo 5

A integral final é:
integral0^1 x [ (1 - x) - (1 - x)^2 + (1 - x)^33 ] , dx
Fazendo a substituição integral1^0 (1 - u) [ u - u^2 + u^33 ] (-du) = integral0^1 (1 - u)(u - u^2 + u^33) , du para simplificar:
Quando integral0^1 ( u - u^2 + u^33 - u^2 + u^3 - u^43 ) , du = integral0^1 ( u - 2u^2 + 4u^33 - u^43 ) , du , [ u^22 - 2u^33 + 4u^412 - u^515 ]0^1 = ( 12 - 23 + 13 - 115 ) = 12 - 23 + 13 - 115 = 12 - 13 - 115 ; quando 12 = 1530, 13 = 1030, 115 = 230 , 1530 - 1030 - 230 = 330 = 110 .
A integral se torna:
Multiplicando os termos:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

A integral tripla vale .

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