Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como integrar uma função em três dimensões, uma de cada vez, começando pela variável mais interna até a mais externa.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A função que estamos integrando é , que não depende de . A integral em relação a fica assim:
Passo 3
Agora, nossa integral simplificada fica:
integral0^1 integral0^1-x x (1 + y^2 - 2 y) , dy , dx
Vamos integrar em relação a x (1 + y^2 - 2 y) = x + x y^2 - 2 x y . Para isso, vamos distribuir o integral0^1-x (x + x y^2 - 2 x y) , dy = x integral0^1-x 1 , dy + x integral0^1-x y^2 , dy - 2x integral0^1-x y , dy :
x integral0^1-x 1 , dy = x (1 - x)
Então, a integral em relação a x integral0^1-x y^2 , dy = x [ y^33 ]0^1-x = x cdot (1 - x)^33 fica: