Calcule f'(x).
f(x) = (sen(3 x))^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de uma função. A função que temos é . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia e a derivada da função seno. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da nossa função . Temos uma função composta: uma função (seno) elevada a uma potência. Isso significa que vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos achar a derivada de . Usando a regra do poder, a derivada é:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a derivada do seno, que é , e aplicamos a regra da cadeia novamente porque temos uma função dentro de outra (no caso, ):

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia à nossa função original , substituímos e :

Resposta

Simplificando, a derivada de é:

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