Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos encontrar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como analisar o comportamento de uma expressão quando
cresce para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência:
. Nosso objetivo é ver o que essa fração faz quando
fica muito grande, ou seja, tende para o infinito.
Passo 3
Para isso, uma técnica legal é dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior grau de
que aparece na expressão. No caso, o maior grau é
mesmo. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, vamos pensar no que acontece com
quando
cresce para o infinito. Como
fica muito grande,
tende para zero. Então, substituindo na expressão:
Passo 5
Isso significa que, conforme
aumenta, a sequência
se aproxima cada vez mais de
. Portanto, a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.