Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
{(n+1)/(3n-1)}_{n=1}^{infinito}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos encontrar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como analisar o comportamento de uma expressão quando cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência: . Nosso objetivo é ver o que essa fração faz quando fica muito grande, ou seja, tende para o infinito.

Passo 3

Para isso, uma técnica legal é dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior grau de que aparece na expressão. No caso, o maior grau é mesmo. Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, vamos pensar no que acontece com quando cresce para o infinito. Como fica muito grande, tende para zero. Então, substituindo na expressão:

Passo 5

Isso significa que, conforme aumenta, a sequência se aproxima cada vez mais de . Portanto, a sequência é convergente e seu limite é .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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